Вопрос 4.4. Разложение определителя по строке или столбцу

Определение 4.4. Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в котором находится данный элемент.

Обозначается минор элемента символом .

Пример 4.3. Минор элемента

Определение 4.5. Алгебраическим дополнением элемента называется следующая величина

.

Теорема Лапласа. Величина определителя равна сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения

(разложение по i -й строке),

или

(разложение по i -у столбцу),

где n - порядок определителя.

Сумма произведений элементов строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна 0.

Доказательство.

Пусть дан определитель 3-го порядка .

Вычислим следующие определители по правилу Саррюса:

Но

,

Поэтому . Так как , то

Аналогично доказывается разложение по любой другой строке или столбцу. Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть дана сумма произведений элементов второй строки на алгебраические дополнения элементов первой строки:

Согласно первой части доказательства, эта сумма равна определителю , равного 0 в силу равенства двух строк.

Конец доказательства.

Пример 4.4.

Конец примера.

Здесь ‑ алгебраические дополнения, которые выражаются через миноры порядка по формуле

.

В свою очередь, минор порядка является определителем ‑ го порядка. Поэтому определитель n – го порядка определяется через определитель порядка.

Можно доказать, что свойства определителя, рассмотренные ранее, не зависят от порядка определителя.

Пример 5.1. Вычислить определитель

.

Вычтем из второй строки первую, а из третей ‑ четвертую, получим определитель с двумя одинаковыми строками, следовательно, его величина равна 0.

Конец примера.

Вопрос 5.2. Обратная матрица.

Определение 5.1. Квадратная матрица B n ‑ го порядка называется обратной к квадратной матрице A, если

.

Обратную матрицу будем обозначать символом .

Теорема 5.1. Если матрица A имеет обратную матрицу, то

.

Доказательство. Так как , то, вычисляя определитель, получим

или

Конец доказательства.

Теорема 5.2. Если матрица A имеет отличный от нуля определитель, то она имеет обратную матрицу.

Доказательство. Приведем доказательство для матриц третьего порядка. Пусть матрица A

имеет отличный от нуля определитель. Рассмотрим матрицу B

Перемножим две матрицы

Здесь использованы обозначения (значения сумм вычислены по теореме Лапласа)

Аналогично доказывается, что . Таким образом, матрица B является обратной для A.

Конец доказательства.

Теорема 5.3. Если матрица имеет обратную, то обратная матрица единственна.

Доказательство. Пусть матрица A имеет две обратные матрицы B и C, тогда

и .

Умножим первое равенство на C слева

Конец доказательства.

Пример 5.2. Вычислить обратную матрицу

, алгебраические дополнения

Тогда получим обратную матрицу

Коней примера.