Определение 4.4. Минором элемента 
определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в котором находится данный элемент.
Обозначается минор элемента символом 
.
Пример 4.3. Минор элемента 
Определение 4.5. Алгебраическим дополнением элемента называется следующая величина
.
Теорема Лапласа. Величина определителя равна сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения
(разложение по i -й строке),
или
(разложение по i -у столбцу),
где n - порядок определителя.
Сумма произведений элементов строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна 0.
Доказательство.
Пусть дан определитель 3-го порядка 
.
Вычислим следующие определители по правилу Саррюса:
Но
, 
Поэтому 
. Так как 
, то
Аналогично доказывается разложение по любой другой строке или столбцу. Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть дана сумма произведений элементов второй строки на алгебраические дополнения элементов первой строки:
Согласно первой части доказательства, эта сумма равна определителю 
, равного 0 в силу равенства двух строк.
Конец доказательства.
Пример 4.4.
Конец примера.
Здесь 
‑ алгебраические дополнения, которые выражаются через миноры 
порядка по формуле
.
В свою очередь, минор порядка является определителем ‑ го порядка. Поэтому определитель n – го порядка определяется через определитель порядка.
Можно доказать, что свойства определителя, рассмотренные ранее, не зависят от порядка определителя.
Пример 5.1. Вычислить определитель
.
Вычтем из второй строки первую, а из третей ‑ четвертую, получим определитель с двумя одинаковыми строками, следовательно, его величина равна 0.
Конец примера.
Вопрос 5.2. Обратная матрица.
Определение 5.1. Квадратная матрица B n ‑ го порядка называется обратной к квадратной матрице A, если
.
Обратную матрицу будем обозначать символом 
.
Теорема 5.1. Если матрица A имеет обратную матрицу, то
.
Доказательство. Так как 
, то, вычисляя определитель, получим
или
Конец доказательства.
Теорема 5.2. Если матрица A имеет отличный от нуля определитель, то она имеет обратную матрицу.
Доказательство. Приведем доказательство для матриц третьего порядка. Пусть матрица A
имеет отличный от нуля определитель. Рассмотрим матрицу B
Перемножим две матрицы
Здесь использованы обозначения (значения сумм вычислены по теореме Лапласа)
Аналогично доказывается, что 
. Таким образом, матрица B является обратной для A.
Конец доказательства.
Теорема 5.3. Если матрица имеет обратную, то обратная матрица единственна.
Доказательство. Пусть матрица A имеет две обратные матрицы B и C, тогда
и 
.
Умножим первое равенство на C слева
Конец доказательства.
Пример 5.2. Вычислить обратную матрицу
, алгебраические дополнения
Тогда получим обратную матрицу
Коней примера.
