Лекция № 5. Матричное исчисление. Определители

Вопрос 5.1. Определители n ‑го порядка и их свойства.

В лекции №4 были даны определения определителей 2-го и 3-го порядков. С помощью теории перестановок можно дать определние определителя любого натурального порядка n ().

Определение 5.1. Определителем n -го порядка квадратной матрицы A называется число

.

Здесь сумма берется по всем перестановкам индексов столбцов. Каждое слагаемое равно произведению n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца так, что индексы строк образуют тождественную перестановку, а индексы столбцов образуют одну из возможных перестановок, умноженных на четность перестановки номеров столбцов .

Если , то определитель квадратной матрицы 1-го порядка совпадает самим элементом, таак как в этом случае

.

Если , то определитель квадратной матрицы 2-го порядка совпадает самим элементом, так как в этом случае

.

Если , то определитель квадратной матрицы 2-го порядка равен

,

что совпадает с определением определителя 2-го порядка, данном в лекции №4.

Если , то определитель квадратной матрицы 3-го порядка равен сумме 6-и слогаемых

Подсчитаем число инверсий

.

Отсюда

что согласуется с определением, данном в лекции №4, для определителя 3-го порядка.

Рассмотрим теперь свойства определителей.

Свойство 5.1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется.

Доказательство.

Переставим в каждом произведении множители так, чтобы номера строк располагались в порядке возрастания . Это означает, что нужно выполнить обратную подстановку

для номеров строк. Каждая перестановка имеет только одну обратную. Поэтому суммирование по перестановкам можно заменить суммированием по обратным перестановкам

Далее, по теореме 4.? четность перестановки равна четности обратной к ней перестановки

Откуда следует равенство

.

Конец доказательства.

Следствие 5.1.1. В любом определителе строки и столбцы обладают одинаковыми свойствами. Это означает, что, если доказано некоторое свойство для строк, то аналогичное свойство справедливо для столбцов. Справедливость следствия основано на том факте, что при транспонировании определителя строки и столбцы меняются местами.

Свойство 5.2. Если в определителе поменять местами 2-е строки или 2‑а столбца, то знак определителя изменится на противоположный.

Доказательство. Поменяем местами в определитле

i -ю и j -ю строки местами . Тогда получим

Перестановка только транспозицией отличается от перестановки , поэтому их четности противоположны

Тогда

Отсюда получаем

Конец доказательства.

Следствие 5.2.1. Если в определителе две строки или два столбца равны между собой, то определитель равен 0.

Доказательство. Поменяем в таком определителе равные строки или столбцы местами. Тогда знак определителя изменится на противоположный. С другой стороны матрица определителя не изменится. Поэтому и определитель не изменится. Тогда или . Отсюда .

Конец доказательства.

Свойство 5.3. Умножение строки или столбца на одно и то же число равносильно умножению определителя на это число.

.

Доказательство.

.

Конец доказательства.

Следствие 5.3.1. Если в определителе две строки или два столбца пропорциональны, то определитель равен 0.

Доказательство. Если в таком определителе вынести общий множитель двух пропорциональных строк или столбцов за знак определителя, то получим определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами. Такой определитель равен нулю по следствию 5.2.1.

Конец доказательства.

Свойство 5.4. Если в определителе какая-либо строка (столбец) представлена в виде суммы двух строк (столбцов), то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых элементы отмеченной строки равны первым слогаемым, во втором ‑ вторым

.

Доказательство.

Конец доказательства.

Следствие. 5.4.1. Если в определителе какая-либо строка (столбец) представлена в виде суммы конечного числа строк (столбцов), то определитель равен сумме того же числа определителей, в первом из которых элементы отмеченной строки равны первым слогаемым, во втором – вторым и т.д.

Следствие. Если в определителе к какой-либо строке (столбцу) добавить другую строку (столбец), умноженную на какое-либо число, то величина определителя не изменится.

Докажите это самостоятельно.

Свойство 4.5. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

Доказательство.

Конец доказательства.