Опредление 4.1. Матрицей размера 
называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов
Числа, составляющие таблицу, называются элементами матрицы. Матрицы обозначаются большими латинскими буквами A, B, C..., а их элементы ‑ малыми латинскими буквами a, b, c....
Каждый элемент матрицы нумеруется двумя числами, которые называются индексами или указателями:
первый индекс указывает на номер строки, а второй ‑ на номер столбца. Если элементы матрицы состоят из вещественных или комплексных чисел, то матрица называется соответственно вещественной или комплексной.
Нулевая матрица ‑ матрица, состоящая из нулевых элементов, обозначается 0.
Квадратная матрица ‑ матрица размера 
.
Треугольная матрица ‑ квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные ниже или выше главной диагонали, равны нулю.
Диагональная матрица ‑ квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю.
Единичная матрица ‑ диагональная матрица, диагональные элементы которой равны единице.
Над матрицами определены следующие действия: сложение, вычитание, умножение на число и на матрицу.
Опредление 4.2. Матрица C есть сумма матриц A и B, если все три матрицы одинакового размера и
Тогда пишут 
. Сложение матриц подчиняется двум законам
‑ коммутативный закон сложения,
‑ ассоциативный закон сложения.
Доказательство. Пусть и 
. Тогда 
и
.
Опредление 4.3. Матрица C есть разность матриц A и B, если все три матрицы одинакового размера и
Тогда пишут 
.
Опредление 4.4. Матрица C есть произведение числа a на матрицу A, если обе матрицы одинакового размера и
Тогда пишут 
. Легко доказать следующие равенства
Доказательство.
Конец доказательства.
Пример 4.1. Вычислить матричное выражение 
, где
.
Конец примера.
Для дальнейшего изложения нам потребуется знак суммирования 
для сокращенного обозначения суммы чисел 
.
Докажем следующие свойства операции суммирования, основанные на переместительном, сочетаельном и распределительном законах сложения и умножения, то есть на возможности как угодно переставлять слагаемые и выносить общие множители за скобки:
1) 
,
2) 
,
3) 
.
Доказательство.
1)
2)
3)
Сгрупперуем теперь слогаемые, собирая сначала члены, содержащие общие множители 
Опредление 4.5. Матрица C размером называется произведением матриц A и B, если две последние имеют согласованные размеры 
и 
соответственно и
(4.1)
Тогда пишут 
. В формуле (4.1) используются элементы i строки матрицы A и элементы j столбца матрицы B, то есть строки первой матрицы "перемножаются" на столбцы второй матрицы. Из определения произведения матриц следует, что перемножать можно матрицы, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Матричное умножение подчиняется следующим законам:
1) 
‑ ассоциативный закон произведения,
2) 
‑ дистрибутивный закон умножения относительно сложения.
Доказательство.
1) Пусть даны матрицы A, B и С соответственно размеров 
, 
и 
. Тогда
.
Поменяв местами порядок суммирования, получим
,
откуда следует равенство .
2) Пусть даны матрицы A, B и С соответственно размеров , и 
. Тогда
.
Конец доказательства.
Внимание! Матричное произведение не коммутативно, то есть матричные множители нельзя в общем случае менять местами.
Опредление 4.6. Квадратные матрицы 
и 
одинакового размера называются коммутирующими, если 
.
Опредление 4.7. Коммутатором квадратных матриц и одинакового размера называется разность 
.
Очевидно, что если коммутатор 
, то матрицы и коммутируют и обратно, если матрицы и коммутирующиеся, то их коммутатор равен нулю .
Пример 4.2. Вычислить произведения AB и BA, если
и 
.
,
,
.
Конец примера.
Опредление 4.8. Транспонированием матрицы называется операция замены строк на столбцы. Будем обозначать символом 
транспонированную матрицу A. Тогда элементы этих матриц связаны равенством
.
Если матрица квадратная, то транспонирование сводится к вращению матрицы на 180 градусов относительно главной диагонали. Операция транспонирования обладает следующими свойствами
Доказательство.
Конец доказательства.
Опредление 4.9. Матрица 
называется сопряженной (реже эрмитово сопряженной) к матрице A, если она получена из матрицы A путем транспонирования и комплексного сопряжения ее элементов
.
Операция сопряжения обладает следующими свойствами
Доказательство.
Конец доказательства.
Опредление 4.10. Квадратная вещественная матрица A называется симметричной, если она равна своей транспонированной 
.
Из определения следует, что у симметричной матрицы элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали равны 
.
Опредление 4.11. Квадратная комплексная матрица A называется самосопряженной (реже эрмитовой), если она равна своей сопряженной 
.
Из определения следует, что у самосопряженной матрицы элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали комплексно сопряжены 
, а элементы, стоящие на главной диагонали, вещественны 
.
