Ряд, знаки членів якого чергуються

Розглядаються ряди, у яких два сусідніх члени ряду мають різні знаки, наприклад:

для визначення збіжності таких рядів використовується теоремаЛейбніця:

Ряд збігається, якщо його члени монотонно спадають за абсолютною величиною і загальний член наближається до нуля при п, яке наближається до нескінченості, тобто виконуються умови:

1. послідовність абсолютних величин членів ряду монотонно спадає, тобто

2. загальний член ряду прямує до нуля

При цьому сума S ряду (10) задовольняє нерівності: .

Абсолютна збіжність ряду. коли ряд, складений з абсолютних членів ряду, у якого знаки чергуються, збігається, то і заданий ряд збігається абсолютно.

Умовна збіжність ряду. коли ряд, складений з абсолютних членів збіжного ряду, у якого знаки чергуються, розбігається, то заданий ряд збігається умовно.

Приклад 4.27. Дослідити збіжність ряду .

 

Розв'язання. Ряд задано у згорнутому вигляді. Представимо його в розгорнутому виді, підставляючи послідовно :

 

 

Ряд збігається за ознакою Лейбніця, тому що виконуються обидві її умови, а саме;

1. Абсолютні значення членів ряду монотонно спадають:

 

 

2. Загальний член ряду має границею нуль:

 

 

Перевіряємо ряд на абсолютну збіжність. ряд, складений з абсолютних членів заданого ряду

розбігається, тому що він утворений з непарних членів гармонійного ряду, який розбігається.

Тому і даний ряд збігається умовно.

14.5. Степеневі ряди

Для визначення збіжності такого степеневого ряду можна використовувати узагальнену ознаку Даламбера. Знаходимо

 

.

Ряд збіжний при q < 1. Доведено також, що при q > 1 ряд розбіжний. Таким чином, додатковому дослідженню підлягають лише ті значення, при яких q = 1.

Якщо степеневий ряд містить лише послідовні степені, то дещо простіше використовувати формулу для радіусу збіжності, яка випливає з ознаки Даламбера: де , – коефіцієнт при загальному членові .

 

Приклад 4.28. Знайти область збіжності ряду

 

Розв’язання.

Ряд збіжний в інтервалі (-1; 1).

Розглянемо збіжність ряду на кінцях цього інтервалу.

а) . Отримаємо ряд

Оскільки і , то за теоремою Лейбніця ряд збіжний.

б) . Отримаємо ряд

Це гармонійний ряд, який, як відомо, розбіжний.

Отже, область збіжності даного ряду є напівінтервал [-1; 1).

 

Приклад 4.29. Знайти інтервал збіжності ряду:

 

Розв’язання.

Знаходимо радіус збіжності

 

.

 

Ряд збіжний при .

При маємо ряд , який розбіжний за ознакою порівняння з гармонійним рядом.

При маємо ряд , який збіжний за ознакою Лейбніця.

Отже область збіжності

 

 

Приклад 4.30. Знайти область збіжності ряду: .

Розв’язання.

 

Радіус збіжності

 

; .

 

При х =1

Збіжність ряду перевіряємо за теоремою порівняння рядів. Оскільки в знаменнику загального члена старший степінь n рівний 2, то для порівняння візьмемо ряд, отриманий з гармонійного ряду з n в степені 2.

Відомо, що ряди, отримані з гармонійного ряду з n в степені більше 1, збіжні. Порівнюємо відповідні члени початкового і досліджуваного ряду.

.

Отже, ряд також збіжний.

При х =-1 отримаємо ряд:

Ряд збіжний за теоремою Абеля, яка стверджує, що коли збігається ряд складений з членів знакозмінного ряду, взятих із знаком плюс, то і знакозмінний ряд збіжний.

Відповідь. Область збіжності ряду [-1;1].

 

Формула Тейлора