Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними

 

Означення. Диференціальне рівняння типу

 

(4.7)

 

називають рівнянням із відокремленими змінними, тому що в цьому рівнянні змінні розділені, тобто при знаходиться тільки функція від х, а при - тільки функція від у.

Інтегруючи обидві частини цього рівняння, одержимо співвідношення, яке пов'язує розв'язок у, незалежну змінну х і довільну сталу С, тобто одержимо загальний інтеграл рівняння

 

. (4.8)

 

Приклад 4.1. Знайти загальний розв'язок рівняння .

 

Розв'язання.

 

, , .

 

Приклад 4.2. Розв'язати рівняння

 

Розв'язання.

Представляють

Запишемо рівняння в диференціалах

Для відокремлення змінних треба розділити кожну з частин рівняння на добуток функцій . Множник називається розділяючим множником.

 

 

Змінні відокремлені і можна інтегрувати.

 

;

Отриманий розв'язок є загальним інтегралом диференціального рівняння. Можна одержати і загальний розв'язок диференціального рівняння, якщо перетворити отриманий розв'язок:

 

.

 

Приклад 4.3. Знайти загальний розв'язок рівняння

 

.

 

Розв'язання. Розділяючи змінні, знаходимо:

 

,

.

Інтегруючи, отримаємо:

 

або .

 

Останнє співвідношення є загальним інтегралом даного рівняння.

 

Приклад 4.4. Розв'язати задачу Коші

, .

 

Розв'язання. Розділяючи змінні, знаходимо:

.

Інтегруючи, отримаємо:

,

.

 

Одержали загальний інтеграл вихідного рівняння.

Розв'язавши останнє рівняння відносно у, знайдемо загальний розв'язок вихідного рівняння

 

, , .

 

Знайдемо частинний розв'язок, який задовольняє початковій умові :

, , , .

- розв'язок задачі Коші.

Однорідні диференціальні рівняння

Означення. Функція називається однорідною функцією n-го порядку щодо змінних х і у, якщо при будь-якому t справедлива тотожність

.

Приклад 4.5. - однорідна функція першого порядку, тому що

.

Приклад 4.6. - однорідна функція другого порядку, тому що

.

Приклад 4.7. - однорідна функція нульового порядку, тому що

.

 

Означення. Рівняння виду називається однорідним, якщо функції при і є однорідними однакового порядку.

Однорідне рівняння зводиться до вигляду і за допомогою заміни змінних , де , , або зводиться до рівняння із змінними, які відокремлюються.

 

Приклад 4.8. Розв'язати задачу Коші

 

, .

 

Розв'язання.

- однорідні функції першого порядку

, , ,

, ,

,

, , , ,

- загальний розв'язок.

Знайдемо частинний розв'язок, який задовольняє початковій умові : , .

- розв'язок задачі Коші.

 

Лінійні диференціальні рівняння

Означення. Лінійним рівнянням першого порядку називається рівняння, що має вигляд

, (4.9)

 

де і - задані неперервні функції від х (або сталі).

Якщо , то рівняння називається однорідним.

Метод Бернуллі

Шукаємо розв'язок рівняння (4.9) у вигляді добутку двох функцій від х:

 

, (4.10)

. (4.11)

 

Підставши у і в (4.9), маємо:

 

, . (4.12)

 

Виберемо функцію такою, щоб

 

, (4.13)

 

, , ,

, ,

, .

Так як нам досить якого-небудь відмінного від нуля розв'язку рівняння (4.13), то за функцію візьмемо .

Підставляючи знайдене значення в (4.12), одержимо:

, , , .

Підставляючи й у (4.10), одержуємо розв'язок неоднорідного рівняння:

,

. (4.14)

Приклад 4.9. Розв'язати рівняння

.

 

Розв'язання. , , звідки маємо:

, .

Згідно методу виберемо функцію такою, щоб , тоді . Розв’язуємо перше рівняння

, , .

Підставляємо в друге

, , , ,

.

Підставляючи й , одержуємо загальний розв'язок рівняння:

.

 

2. Метод Лагранжа (метод варіації довільної сталої)

Суть методу полягає в тому, що спочатку знаходимо загальний розв'язок відповідного лінійного однорідного рівняння

.
Потім, вважаючи в цьому розв'язку сталу С функцією від х, шукаємо розв'язок лінійного неоднорідного рівняння у вигляді:

 

. (4.15)

 

Розв'язок (4.15) повинен задовільняти рівняння (4.9). Диференціюючи і підставляючи (4.15) в (4.9), маємо:

 

,

,

, ,

,

. (4.16)

 

Він співпадає з розв'язком (4.14).

 

Приклад 4.10. Розв'язати рівняння методом Лагранжа

.

 

Розв'язання. Розв'яжемо відповідне однорідне рівняння

, ,

, .

Вважаючи в цьому розв'язку сталу С функцією від х, шукаємо розв'язок лінійного неоднорідного рівняння у вигляді:

 

, .

Підставимо у вихідне рівняння у, і з отриманого диференціального рівняння знайдемо функцію :

,

, .

– загальний розв'язок.