Решение задания типа 161-170

В продажу поступило 40% телевизоров с первого завода, 50% - со второго, 10% - с третьего. Вероятность того, что телевизор, изготовленный на первом заводе, имеет дефект, равна 0,1. Для телевизоров, изготовленных на втором и третьем заводах, эти вероятности соответственно равны 0,15 и 0,2. 1) Какова вероятность приобрести исправный телевизор? 2) Приобретен исправный телевизор. Найти вероятность того, что он поступил с первого завода.

Решение.

1). Пусть событие . Это событие может произойти с одной из следующих гипотез: , ,

.

Из условия задачи вероятности гипотез равны:

; ; .

При этом должно выполняться равенство , что действительно так: 0,4+0,5+0,1=1.

Вычислим условные вероятности

.

Аналогично и .

Вероятность того, что наудачу купленный телевизор без дефекта, по формуле полной вероятности равна = + + =

= .

2) Пересчитаем вероятность гипотезы , если известно, что событие произошло, т.е. найдем условную вероятность .

По формуле Байеса = .

Решения заданий типа 171-180.

Непрерывная СВ Х задана функцией распределения =

Найти:

1) коэффициент А;

2) плотность распределения вероятностей ;

3) математическое ожидание СВ Х;

4) вероятность события .

Решение. 1). Из непрерывности функции распределения и свойства следует, что . Откуда .

2). Плотность распределения вероятностей найдем из формулы = :

=

3). Математическое ожидание непрерывной СВ определяется формулой = . Так как функция задана тремя различными выражениями на трех интервалах, то несобственный интеграл разобьется на сумму трех интегралов:

= + + = = = .

 

4). Вероятность события найдем по формуле . В нашем случае и поэтому .

Задание задания типа 181-190.

Зависимость выпуска валовой продукции (с.в. Y) от стоимости основных фондов (с.в. Х) 50 предприятий представлена корреляционной таблицей

 

X Y	0,3	0,9	1,5	2,1	2,7	mi
0,6
1,8
3,0
4,2
5,4
mj						n = 50

 

В первом столбце таблицы указаны наблюдаемые значения с.в. Х (x_i), в последнем столбце – соответствующие частоты наблюдаемых значений (m_i). В первой строке таблицы указаны наблюдаемые значения с.в. Y (y_j), в последней строке – соответствующие частоты (m_j) появление этих значений. На пересечении строк и столбцов таблицы указаны частоты (m_ij) появления пары (x_i, y_j).

Требуется:

1. Найти уравнение прямой линии регрессии Y на Х.

2. Найти уравнение прямой линии регрессии Х на Y.

3. Построить графики полученных прямых.

4. Оценить тесноту корреляционной связи, используя выборочный коэффициент корреляции.

Решение.

1. Эмпирическую линейную функцию регрессии Y на Х ищем в виде

Используя метод наименьших квадратов, получим расчетные формулы для определения неизвестных параметров а и b, а именно, систему двух уравнений с двумя неизвестными:

где выборочные средние и вычисляются по формулам:

, , , .

В нашем случае

5,7528

Подставив данные значения в систему уравнений, получим

Решая систему, получим оценки параметров и

Окончательный вид уравнения регрессии Y на Х: .

2. Уравнение прямой линии регрессии Х на Y ищем в виде , где числовые параметры с и d найдем из системы

.

Выборочное среднее вычислим по формуле = , а именно

=

Подставив значения и в систему, получим:

Откуда и .

Окончательный вид уравнения регрессии Х на Y: .

3. Построим графики найденных прямых регрессий.

 

 

4. Определим выборочный коэффициент корреляции по формуле

,

где выборочные средние квадратические отклонения и вычисляются по формулам = , = .

В нашем случае = , = . Тогда .

На практике теснота корреляционной связи оценивается по значению коэффициента следующим образом:

пренебрежимо малая;

слабая;

существенная;

большая;

очень большая, близкая к функциональной.

Так как в нашем случае = , то теснота связи между случайными величинами Х и Y большая.