Даны координаты вершин пирамиды 
, 
, 
, 
. Найти: 1). площадь грани 
; 2). объем пирамиды; 3). уравнения прямой 
; 4). уравнение плоскости ; 5). уравнения высоты 
, опущенной из вершины 
на грань ; 6). длину высоты ; 7). координаты точки пересечения высоты с плоскостью .
Например, A 1(3;5;4), A 2(6;9;4), A 3(0;7;2), A 4(2;3;7).
1) Для нахождения площади грани воспользуемся геометрическим смыслом модуля векторного произведения 
, равного площади параллелограмма, построенного на векторах 
и как на сторонах.
Найдем векторное произведение
Тогда искомая площадь грани равна:
= 
(ед2).
2) Объем пирамиды найдем, используя геометрический смысл модуля смешанного произведения 
, равного объему параллелепипеда, построенного на векторах 
как на ребрах.
Вычислим смешанное произведение векторов :
= 
= 
= 38.
Так как объем пирамиды составляет шестую часть объема соответствующего параллелепипеда, то
V пир = 
= 
(ед3).
3) Чтобы найти уравнения прямой , используем уравнения прямой в пространстве, проходящей через две известные точки 
и 
.
Уравнения прямой принимают вид:
или 
.
4) Для получения уравнения грани используем уравнение плоскости, проходящей через три данные точки 
: 
.
В нашей задаче: 
.
Определитель вычислим методом разложения по элементам первой строки.
, раскрыв скобки, и приведя подобные, получаем – 8 x + 6 y + 18 z – 78 = 0, сократив на (–2), искомое уравнение будет иметь вид 4 x – 3 y – 9 z + 39 = 0.
5) Чтобы найти уравнения высоты, опущенной из вершины А 4 на грань , используем канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через известную точку А 4 с направляющим вектором 
.
Так как высота перпендикулярна грани , то в качестве направляющего вектора 
можно использовать нормальный вектор плоскости , координатами которого являются коэффициенты при 
в полученном уравнении грани : 
.
Итак, уравнения высоты примут вид:
.
6) Для вычисления длины высоты примем формулу расстояния от точки до плоскости .
,
где 
– коэффициенты и свободный член из уравнения плоскости .
Таким образом,
.
Координаты точки пересечения высоты с плоскостью получаются как результат решения системы, составленной из уравнения грани и уравнений высоты .
Запишем уравнения высоты в параметрической форме:
,
где t – параметр, тогда 
. Решая систему 
,
найдем значение параметра t. Подставляя выражения в первое уравнение, получим
.
Искомые координаты точки пересечения:
; 
; 
.
Решение задания типа 31-40 со следующим условием:
Известны уравнения двух сторон ромба 
и 
и уравнение одной из его диагоналей 
. Найти уравнение второй диагонали. Сделать чертеж.
Решение.
Пусть - уравнение стороны АВ. Так как прямые и имеют одинаковые нормальные векторы 
, следовательно, они параллельны. Поэтому - уравнение противоположной стороны DC. Одна из диагоналей, например, АС имеет уравнение . Вершина ромба A является точкой пересечения прямых АВ и АС, следовательно ее можно найти, решив систему уравнений:
, откуда А (3;1).
Вершину ромба С получим решением системы, составленной из уравнения прямых DC и АС:
, откуда С (12;-2).
Точка О пересечения диагоналей является серединой отрезка АС, поэтому ее координаты можно найти по формулам:
. Таким образом 
.
Так как диагонали ромба перпендикулярны, то угловой коэффициент искомой диагонали 
. Угловой коэффициент прямой АС 
, найдем из ее уравнения: 
, откуда 
. Следовательно, 
.
Уравнение диагонали BD найдем, зная угловой коэффициент 
и точку , лежащую на ней: 
, т.е. 
или 
.
Ответ: .
Выполним чертеж:
