Решение типового задания 21-30

Даны координаты вершин пирамиды , , , . Найти: 1). площадь грани ; 2). объем пирамиды; 3). уравнения прямой ; 4). уравнение плоскости ; 5). уравнения высоты , опущенной из вершины на грань ; 6). длину высоты ; 7). координаты точки пересечения высоты с плоскостью .

Например, A ₁(3;5;4), A ₂(6;9;4), A ₃(0;7;2), A ₄(2;3;7).

1) Для нахождения площади грани воспользуемся геометрическим смыслом модуля векторного произведения , равного площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.

Найдем векторное произведение

 

 

 

Тогда искомая площадь грани равна:

 

= (ед²).

 

2) Объем пирамиды найдем, используя геометрический смысл модуля смешанного произведения , равного объему параллелепипеда, построенного на векторах как на ребрах.

Вычислим смешанное произведение векторов :

 

= = = 38.

 

Так как объем пирамиды составляет шестую часть объема соответствующего параллелепипеда, то

 

V _пир = = (ед³).

 

3) Чтобы найти уравнения прямой , используем уравнения прямой в пространстве, проходящей через две известные точки и .

 

Уравнения прямой принимают вид:

 

или .

 

4) Для получения уравнения грани используем уравнение плоскости, проходящей через три данные точки : .

В нашей задаче: .

 

Определитель вычислим методом разложения по элементам первой строки.

, раскрыв скобки, и приведя подобные, получаем – 8 x + 6 y + 18 z – 78 = 0, сократив на (–2), искомое уравнение будет иметь вид 4 x – 3 y – 9 z + 39 = 0.

 

5) Чтобы найти уравнения высоты, опущенной из вершины А ₄ на грань , используем канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через известную точку А ₄ с направляющим вектором

 

.

 

Так как высота перпендикулярна грани , то в качестве направляющего вектора можно использовать нормальный вектор плоскости , координатами которого являются коэффициенты при в полученном уравнении грани : .

Итак, уравнения высоты примут вид:

 

 

.

 

6) Для вычисления длины высоты примем формулу расстояния от точки до плоскости .

 

,

 

где – коэффициенты и свободный член из уравнения плоскости .

Таким образом,

 

.

Координаты точки пересечения высоты с плоскостью получаются как результат решения системы, составленной из уравнения грани и уравнений высоты .

Запишем уравнения высоты в параметрической форме:

 

,

 

где t – параметр, тогда . Решая систему ,

найдем значение параметра t. Подставляя выражения в первое уравнение, получим

 

.

 

Искомые координаты точки пересечения:

 

; ; .

 

Решение задания типа 31-40 со следующим условием:

Известны уравнения двух сторон ромба и и уравнение одной из его диагоналей . Найти уравнение второй диагонали. Сделать чертеж.

 

Решение.

Пусть - уравнение стороны АВ. Так как прямые и имеют одинаковые нормальные векторы , следовательно, они параллельны. Поэтому - уравнение противоположной стороны DC. Одна из диагоналей, например, АС имеет уравнение . Вершина ромба A является точкой пересечения прямых АВ и АС, следовательно ее можно найти, решив систему уравнений:

, откуда А (3;1).

Вершину ромба С получим решением системы, составленной из уравнения прямых DC и АС:

, откуда С (12;-2).

Точка О пересечения диагоналей является серединой отрезка АС, поэтому ее координаты можно найти по формулам:

. Таким образом .

Так как диагонали ромба перпендикулярны, то угловой коэффициент искомой диагонали . Угловой коэффициент прямой АС , найдем из ее уравнения: , откуда . Следовательно, .

Уравнение диагонали BD найдем, зная угловой коэффициент и точку , лежащую на ней: , т.е. или .

 

Ответ: .

 

Выполним чертеж: