Исследовать методами дифференциального исчисления функцию 
и, используя результаты исследования, построить ее график.
Решение. Исследование функций и построение их графиков проводится по следующей схеме:
1) найти область определения функции 
; исследовать функцию на четность и нечетность;
2) исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва (если они существуют) и установить характер разрыва;
3) найти асимптоты графика функции;
4) найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы;
5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба;
6) найти точки пересечения графика функции с осями координат;
7) построить график функции.
1) Область определения функции: = 
. Проверим функцию на четность, нечетность: 
= 
. Значит функция ни четная, ни нечетная.
2) Точка разрыва х = 2, причем 
, 
, следовательно, х = 2 является вертикальной асимптотой графика функции.
3) Найдем наклонные асимптоты 
, для этого вычислим 
= 
;
= 
.
Таким образом, прямая 
является наклонной асимптотой графика функции.
4) Интервалы возрастания, убывания и экстремумы определим по следующей схеме:
а) находим первую производную 
;
б) находим критические точки, т.е. точки, в которых =0 или не существует;
в) область определения разбиваем критическими точками на конечное число интервалов монотонности, в каждом из которых имеет строго определенный знак;
г) в соответствии с достаточными условиями определяем интервалы возрастания, убывания функции и ее экстремумы.
Итак,
а) 
=
= 
.
б) критические точки находим из уравнения 
. Отсюда 
, следовательно, 
в) область определения разбиваем критическими точками на интервалы монотонности следующим образом:
г) вычисляем экстремумы функции:
;
.
5) Найдем интервалы выпуклости, вогнутости кривой и ее точки перегиба. Вычислим 
:
= 
=
= 
=
= 
;
Найдем точки, в которых 
=0 или не существует:
= 
- нет решений, не существует, если 
, откуда 
.
Находим интервалы знакопостоянства для :
Так как не входит в , то точек перегиба графика нет.
6) Найдем точки пересечения графика с осями координат: если 
, то 
, если , то 
или и 
. Следовательно, график проходит через точки 
.
7) Используя полученные результаты исследования, строим график функции.
Методические указания для выполнения контрольной работы № 2.
Решение заданий типа 71-80. Даны функция трех переменных 
, точка 
и вектор 
. Найти: 1) градиент функции в точке 
; 2) производную функции в точке по направлению вектора 
.
Например, 
, 
, 
.
Решение. 1) Градиент функции в точке 
это вектор, равный:
, где 
значения частных производных функции по переменным x, y, z, соответственно, в точке М 0.
Найдем частные производные функции . Частная производная по переменной х является обыкновенной производной функции одной переменной х при фиксированном значении переменных у и z и обозначается 
. Т.о. = 
.
При вычислении 
(частной производной по переменной у) переменные х и z считают постоянными. Тогда
= 
= 
= 
.
При вычислении 
(частной производной по переменной z) переменные х и y считают постоянными. Тогда
= 
= 
= 
.
Вычислим значения частных производных в точке :
= 
; 
= 
; = 
.
Тогда 
.
2) Производная функции в точке по направлению вектора вычисляется по формуле
= 
,
где =3, 
, 
вычислены в предыдущем задании этой задачи, а 
направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам 
, 
, 
. Для вектора они равны 
; 
; 
. Тогда производная функции по направлению вектора в точке равна
.
Решения заданий типа 81-90. Производятся два вида товаров, объемы производства которых х и у, цены на эти товары 
и 
, соответственно, затраты на производство задаются функцией издержек 
. Определить при каких объемах производства данных товаров прибыль будет максимальной; найти ее максимальное значение.
Например, =8 (у.е.), =10 (у.е.), 
= 
(у.е.).
Решение. Так как товары производятся в объемах х и у, то функция прибыли 
будет иметь вид = 
или = 
. Требуется найти значения переменных х и у, при которых эта функция примет максимальное значение, при условии, что 
. Т.е. надо найти максимум функции двух переменных .
Для этого найдем точки возможного экстремума этой функции, т.е. точки в которых 
. В нашей задаче 
; 
, поэтому система имеет вид: 
. Решая ее, находим 
, т.е. точка 
является точкой возможного экстремума. Если в точке определитель 
и 
< 0, то точка является точкой локального максимума функции . Здесь , 
, 
значения частных производных второго порядка функции в точке .
Вычислим эти частные производные: = 
; = 
; 
. Тогда 
и = 
, значит точка является точкой экстремума функции прибыли . Это означает, что, если объемы производства товаров первого и второго видов будут равны 2 и 4, соответственно, то прибыль будет максимальной и ее значение будет равно 
(у.е.).
