Решение задания типа 61-70

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

Решение. Исследование функций и построение их графиков проводится по следующей схеме:

1) найти область определения функции ; исследовать функцию на четность и нечетность;

2) исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва (если они существуют) и установить характер разрыва;

3) найти асимптоты графика функции;

4) найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы;

5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба;

6) найти точки пересечения графика функции с осями координат;

7) построить график функции.

 

1) Область определения функции: = . Проверим функцию на четность, нечетность: = . Значит функция ни четная, ни нечетная.

2) Точка разрыва х = 2, причем , , следовательно, х = 2 является вертикальной асимптотой графика функции.

3) Найдем наклонные асимптоты , для этого вычислим = ;

= .

Таким образом, прямая является наклонной асимптотой графика функции.

4) Интервалы возрастания, убывания и экстремумы определим по следующей схеме:

а) находим первую производную ;

б) находим критические точки, т.е. точки, в которых =0 или не существует;

в) область определения разбиваем критическими точками на конечное число интервалов монотонности, в каждом из которых имеет строго определенный знак;

г) в соответствии с достаточными условиями определяем интервалы возрастания, убывания функции и ее экстремумы.

Итак,

а) =

= .

б) критические точки находим из уравнения . Отсюда , следовательно,

в) область определения разбиваем критическими точками на интервалы монотонности следующим образом:

 

 

г) вычисляем экстремумы функции:

;

.

 

5) Найдем интервалы выпуклости, вогнутости кривой и ее точки перегиба. Вычислим :

= =

= =

= ;

Найдем точки, в которых =0 или не существует:

= - нет решений, не существует, если , откуда .

Находим интервалы знакопостоянства для :

 

 

Так как не входит в , то точек перегиба графика нет.

 

6) Найдем точки пересечения графика с осями координат: если , то , если , то или и . Следовательно, график проходит через точки .

 

7) Используя полученные результаты исследования, строим график функции.

 

Методические указания для выполнения контрольной работы № 2.

Решение заданий типа 71-80. Даны функция трех переменных , точка и вектор . Найти: 1) градиент функции в точке ; 2) производную функции в точке по направлению вектора .

Например, , , .

Решение. 1) Градиент функции в точке это вектор, равный:

, где значения частных производных функции по переменным x, y, z, соответственно, в точке М ₀.

Найдем частные производные функции . Частная производная по переменной х является обыкновенной производной функции одной переменной х при фиксированном значении переменных у и z и обозначается . Т.о. = .

При вычислении (частной производной по переменной у) переменные х и z считают постоянными. Тогда

 

= = = .

 

При вычислении (частной производной по переменной z) переменные х и y считают постоянными. Тогда

 

=

= = .

 

Вычислим значения частных производных в точке :

= ; = ; = .

Тогда .

2) Производная функции в точке по направлению вектора вычисляется по формуле

= ,

где =3, , вычислены в предыдущем задании этой задачи, а направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам , , . Для вектора они равны ; ; . Тогда производная функции по направлению вектора в точке равна

.

 

Решения заданий типа 81-90. Производятся два вида товаров, объемы производства которых х и у, цены на эти товары и , соответственно, затраты на производство задаются функцией издержек . Определить при каких объемах производства данных товаров прибыль будет максимальной; найти ее максимальное значение.

Например, =8 (у.е.), =10 (у.е.), = (у.е.).

Решение. Так как товары производятся в объемах х и у, то функция прибыли будет иметь вид = или = . Требуется найти значения переменных х и у, при которых эта функция примет максимальное значение, при условии, что . Т.е. надо найти максимум функции двух переменных .

Для этого найдем точки возможного экстремума этой функции, т.е. точки в которых . В нашей задаче ; , поэтому система имеет вид: . Решая ее, находим , т.е. точка является точкой возможного экстремума. Если в точке определитель и < 0, то точка является точкой локального максимума функции . Здесь , , значения частных производных второго порядка функции в точке .

Вычислим эти частные производные: = ; = ; . Тогда и = , значит точка является точкой экстремума функции прибыли . Это означает, что, если объемы производства товаров первого и второго видов будут равны 2 и 4, соответственно, то прибыль будет максимальной и ее значение будет равно (у.е.).