Приклади розкриття статичної невизначуваності

Приклад 1

Дано: .

Визначити: Для шарнірно обпертої балки, навантаженої силою F, побудувати епюри згинального моменту і поперечної сили.

 

 

- Визначається ступінь статичної невизначуваності балки (рис. 23а): .

Нумерацію опор рекомендовано починати з нульової.

- Горизонтальна реакція в шарнірно – нерухомій опорі 0 буде рівною нулю, тому що немає сил, які дають ненульову проекцію на вісь балки.

- Обираємо основну статично визначувану систему (рис. 23б). Для цього встановимо додатковий шарнір в тіло балки над проміжною (середньою) опорою. При цьому згинальний момент в даному перерізі перетворюється на нуль. Балка розпадається на дві незалежні прості балки.

- Формуємо еквівалентну систему шляхом прикладання зовнішньої сили і невідомого згинального моменту в перерізі з одиночним шарніром (рис. 23в).

- До основної системи прикладаємо одиничний момент (рис. 23г) і будуємо епюру (рис. 23д).

- До основної системи прикладаємо зовнішнє навантаження (силу ) (рис.23е) і будуємо епюру (рис. 23ж).

- Записуємо канонічне рівняння метода сил: . Тут – взаємний кут повороту в місці встановлення додаткового шарніра від прикладання одиничного згинального моменту в напрямку його дії, а – взаємний кут повороту в місці встановлення одиничного шарніра від прикладання зовнішнього навантаження (сили ).

- Визначаємо коефіцієнти канонічного рівняння метода сил:

 

.

 

- Розв’язуємо канонічне рівняння і визначаємо :

 

.

 

- Будуємо епюру від знайденого моменту (рис. 23з).

- Шляхом складання по ділянках балки епюри (рис. 23ж) і епюри (рис. 23з) будуємо епюру (рис. 23и).

- Перевірка виконання умови еквівалентності проводиться шляхом визначення взаємного кута повороту в місці одиночного шарніра. Якщо цей взаємний кут повороту з заданою точністю (3¸5%) буде дорівнювати нулю, то розрахунки по розкриттю статичної невизначуваності та побудови епюри вірні. Для цього необхідно перемножити епюру згинальних моментів (рис. 23и) для статично невизначуваної системи і епюру згинальних моментів (рис. 23з) від одиничного навантаження, прикладеного в місці встановлення одиночного шарніра:

 

 

- Епюра поперечних сил (рис. 23к) будується з урахуванням опорних реакцій, які визначаються для еквівалентної системи (рис. 23в) після знаходження моменту .

 

	Для ділянки балки 0-1:
	Для ділянки балки 1-2:

 

При цьому, для ділянок балки 0-1 та 1-2 опорні реакції знаходяться окремо, а сумарна реакція у першому шарнірі визначається за алгебраїчною сумою лівої і правої частки цієї реакції:

 

Приклад 2

Дано: . Визначити: Для прямокутної рами (рис.24), навантаженої моментом М, побудувати епюри згинального моменту, поздовжніх та поперечних сил.

 

Визначається ступінь статичної невизначуваності балки (рис. 24): .

 

Обираємо основну статично визначувану систему (рис. 25а). Для цього встановимо рухомий шарнір замість нерухомого в точці В. Формуємо еквівалентну систему шляхом прикладання зовнішнього моменту М і невідомої сили у точці В в напрямку (горизонтальному) відкинутого зв’язку (рис. 25б). До основної системи прикладаємо одиничний момент (рис. 25в) і будуємо епюру (рис. 25г).

До основної системи прикладаємо зовнішнє навантаження (момент М) (рис.25д) і будуємо епюру (рис. 25е).

Записуємо канонічне рівняння метода сил: . Тут – лінійне переміщення у точці В в напрямку сили від одиничної сили , а – лінійне переміщення у точці В в напрямку сили від прикладання зовнішнього навантаження (моменту М).

Визначаємо коефіцієнти канонічного рівняння метода сил:

 

.

 

Розв’язуємо канонічне рівняння і визначаємо :

 

 

 

Будуємо епюру від знайденої сили (рис. 26а).

Шляхом складання по ділянках балки епюри (рис. 25е) і епюри (рис. 25г) будуємо епюру (рис. 26б).

Для один раз статично невизначеної системи перевірка виконання умови еквівалентності, а таким чином правильності розрахунків по розкриттю статичної невизначуваності та побудови епюри , проводиться визначенням лінійного переміщення в напрямку . Горизонтальне переміщення з заданою точністю повинно дорівнювати нулю. Для цього необхідно перемножити епюру згинальних моментів (рис. 26б) для статично невизначуваної системи і епюру згинальних моментів (рис. 25г) г) від одиничного навантаження :

 

 

Епюри поздовжніх – та поперечних – сил (рис. 26г,д) будуються з урахуванням опорних реакцій в шарнірах А і В, які визначаються для еквівалентної системи (рис. 25б) після знаходження сили .

 

 

 

 

Приклад 3

Дано: . Визначити: Для плоскої рами (рис.27), навантаженої силою посередині лівого стояка розкрити статичну невизначуваність і побудувати епюри внутрішніх силових факторів в загальному випадку.

 

Ступінь статичної невизначуваності для даної рами дорівнює: .

Для утворення основної системи зробимо розріз по площині симетрії, а зовнішнє навантаження приведемо до симетричного і кососиметричного (рис.28а,в).

Для визначення зайвих невідомих зусиль скористаємося канонічними рівняннями:     У цих рівняннях переміщення та є відповідними переміщеннями сторін розрізу. Задача розв’язується в два етапи: - для симетричного прикладання сил (рис.28а). Епюра згинального моменту (рис.28б). - для кососиметричного прикладання сил (рис.28в). Епюра згинального моменту (рис.28г).

 

Епюри згинальних моментів будуються для схем навантаження (рис. 28д,ж,и), відповідно (рис. 28е,з,к).

Зазначимо, що епюри – симетричні, – кососиметричні.

Визначимо коефіцієнти канонічних рівнянь для симетричного прикладання сили .

 

 

Підставляємо коефіцієнти в канонічні рівняння і розв’язуючи систему алгебраїчних рівнянь знаходимо внутрішні силові фактори для симетричного прикладання сили.

 

Þ

 

Визначимо коефіцієнти канонічних рівнянь для кососиметричного прикладання сили . Коефіцієнти від одиничних навантажень залишаються без змін.

 

Підставляємо коефіцієнти в канонічні рівняння і розв’язуючи систему алгебраїчних рівнянь знаходимо внутрішні силові фактори для кососиметричного прикладання сили.

 

Þ

 

Знаходимо внутрішні силові фактори для заданого навантаження.

 

Будуємо епюри .

 

 

Для тричі статично невизначеної системи перевірка виконання умови еквівалентності, а таким чином правильності розрахунків по розкриттю статичної невизначуваності та побудови епюри , проводиться в три етапи. На першому етапі визначається лінійне переміщення в напрямку . Взаємне горизонтальне переміщення на осі симетрії з заданою точністю повинно дорівнювати нулю. Для цього необхідно перемножити епюру згинальних моментів для статично невизначуваної системи і епюру згинальних моментів від одиничного навантаження .

 

 

На другому етапі визначається лінійне переміщення в напрямку . Взаємне вертикальне переміщення на осі симетрії з заданою точністю повинно дорівнювати нулю. Для цього необхідно перемножити епюру згинальних моментів для статично невизначуваної системи і епюру згинальних моментів від одиничного навантаження .

 

 

На третьому етапі визначається кутове переміщення в напрямку . Взаємний кут повороту на осі симетрії з заданою точністю повинен дорівнювати нулю. Для цього необхідно перемножити епюру згинальних моментів для статично невизначуваної системи і епюру згинальних моментів від одиничного навантаження .