Точечная оценка – это оценка, которая определяется одним числом. И это число определяется по выборке. Это функция результатов выборки, и она является точечной оценкой генерального параметра, т. е. принимает только одно значение.
Качество оценки устанавливается по трем свойствам: быть состоятельной, эффективной и несмещенной.
Точечная оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборки выборочная характеристика стремится к соответствующей характеристике генеральной совокупности.
Точечная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию выборочного распределения по сравнению с другими аналогичными оценками.
Точечную оценку называют несмещенной, если ее математическое ожидание равно оценивающему параметру при любом объеме выборки.
Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя 
:
где 
- варианты выборки; 
- частота встречаемости вариант ; n - объем выборки.
Выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней, так как 
,т.е. она эквивалентна истинной средней в генеральной совокупности (популяции).
Выборочная дисперсия 
не обладает свойством несмещенности. Это смещенная оценка генеральной дисперсии 
.
- это и означает, что выборочная дисперсия 
является смещенной оценкой
На практике используют исправленную выборочную дисперсию , которая является несмещенной оценкой дисперсии генеральной совокупности:
Кроме того, в расчетах используют S - исправленное среднее квадратическое отклонение, называемое стандартным отклонением в выборке и ошибку выборочной средней
(стандартную ошибку средней) 
:
которая отражает точность оценки.
Стандартная ошибка уменьшится, т. е. оценка станет более точной, если объем выборки n увеличится и данные имеют небольшое рассеяние S.
Рассмотрим разницу между S - стандартным отклонением в выборке и 
- стандартной ошибкой среднего.
На первый взгляд, они очень схожи, но их используют в разных целях. Среднее квадратическое отклонение S отражает вариабельность в значениях данных, и его указывают, если надо пояснить изменчивость в наборе данных, разброс данных.
Ошибка выборочной средней характеризует точность выборочного среднего 
и должна быть указана, если интерес представляет среднее значение выборки.
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=50.
|
| ||||
|
|
Найти несмещенную оценку генеральной средней.
Решение:
По выборке объема 30 найдена смещенная оценка = 3 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.
Решение:
Эта несмещенная оценка равна исправленной дисперсии:
Найти несмещенную оценку генеральной средней, дисперсии генеральной совокупности и стандартное отклонение по выборке объема 12, описывающую продолжительность в секундах физической нагрузки до развития приступа стенокардии:
289,203,359,243,232,210,251,251,246,224,239,220,211.
Решение:
Варианты заданий
№ 13.1. При исследовании клинической оценки тяжести серповидноклеточной анемии была получена выборка объема 33.
0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 5;
5;5;5;6;7;9;10;11.
Найдите среднюю, среднее квадртическое отклонение и
медиану. Можно ли считать, что выборка извлечена из
совокупности с нормальным распределением?
№ 13.2. Исследуя продолжительность (в секундах) физической нагрузки до развития приступа стенокардии у 12 человек с ишемической болезнью сердца, получили следующие данные:
289;203; 359; 243; 232; 210; 215; 246; 224; 239; 220; 211. Найдите среднюю, среднее квадратическое отклонение, медиану. Можно ли считать, что данная выборка извлечена из совокупности с нормальным распределением?
№ 13.3. Найдите среднее число очков, выпадающих при бросании игральной кости. Опишите это распределение. Может ли оно быть нормальным?
