Этот закон наиболее часто встречается на практике. Он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения. Нормальное распределение является одним из самых важных распределений в статистике. Обычно всё сравнивают с нормальным законом распределения.
Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами µ и σ2, если ее плотность вероятности имеет вид:
(см. рис. 12.5а).
Свойства плотности распределения вероятностей:
Она колоколообразная ("колокол Гаусса"), иначе унимодальная.
Плотность определяется двумя параметрами: математическим ожиданием (µ) и средним квадратическим отклонением (σ).
Симметричная относительно среднего.
Среднее и медиана нормального распределения равны.
Кривая сдвигается вправо, если среднее увеличивается при постоянном квадратическом отклонении (рис. 11.56), и сдвигается влево, если среднее уменьшается.
Кривая расширяется, если среднее квадратическое отклонениеσ увеличивается (если среднее постоянно).
Кривая становится более остроконечной с меньшей шириной основания колокола, σ если уменьшается при среднем постоянном (площадь под графиком всегда равна 1) (рис. 11.5в).
Рис. 12.5. Кривая нормального закона распределения и ее изменение при изменении параметров
Дополнительные свойства:
Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X со средним µи средним квадратическим отклонением σ(стандартное отклонение) находится между (µ-σ) и (µ+σ), равна 0,68, т.е. 68% случайной величины X отличается от среднего не более чем на одно стандартное отклонение ± σ(рис. 11.6).
Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X находится между (µ-2σ) и (µ+2σ), равна 0,95, т.е. примерно 95% случайной величины X отличается от среднего на два стандартных отклонения ±2σ (рис.11.6).
Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X находится между (µ-3σ) и (µ+3σ), равна 0,99, т.е. 99% (практически достоверно). Это свойство носит название правило трех сигм (рис. 12.6).
Рис. 12.6. Правило трех сигм
Пример 8.
Построить графики для случая µ2>µ1; σ2>σ1.
Решение. Рис. 11.5 г.
Варианты заданий
№12.1. Случайная величина X задана законом распределения:
| |||
| 0,1 | 0,4 | 0,5 |
Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. Построить многоугольник распределения.
№12.2. Найти дисперсию случайной величины X, зная закон ее распределения. Построить многоугольник распределения.
|
| -1 | |||
|
| 0,48 | 0,01 | 0,09 | 0,42 |
№12.3. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения.
|
| 0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | |
|
| 0,1 | 0,2 | 0,4 | P4 | 0,1 |
Чему равна вероятность Р4(X=0,8)? Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.
№12.4. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения.
|
| |||||
|
| P1 | 0,15 | P3 | 0,25 | 0,35 |
Найти вероятность Р1(х = 3) и P3(х = 5), если известно, что Р3 в 4 раза больше Р1. Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.
№12.5. Дискретная случайная величина x – число мальчиков в семьях с 3 детьми. Предполагая равновероятными рождения мальчика и девочки: а) составьте ряд распределения числа рождений мальчиков; б) постройте многоугольник распределения.
№12.6. 2 стрелка стреляют по одной мишени, делая независимо друг от друга по 2 выстрела. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,5, для второго – 0,6. Найдите закон распределения случайной величины x, равной общему числу попаданий в мишень.
№12.7. Дискретная случайная величина x задана таблицей распределения:
| xi | -1 | ||
| pi | 0,25 | 0,5 | 0,25 |
Найдите функцию распределения F(x) и, используя ее, найдите вероятность события 
. Постройте график функции F(x).
№12.8. Случайная величина X имеет плотность вероятности
Найдите функцию распределения F(x) и вероятность события 
№12.9. Плотность вероятности случайной величины x, распределенной равномерно на отрезке 
, имеет вид:
Найдите математическое ожидание величины x.
№12.10. Даны все возможные значения дискретной случайной величины X: x1 =1, x2= 2, x3= 3, а также известны 
Найдите закон распределения величины x.
№12.11. Найдите математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины x, имеющей плотность вероятности
.
Пользуясь правилом «трех сигм», укажите интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который попадает случайная величина x с вероятностью 0,9973.
