№4. Найти общее решение уравнения (х+у) dx–xdy= 0.
Решение. Данное уравнение является однородным уравнением первой степени относительно переменных х и у. Действительно,
P (λx, λy) =λx+λy=λ (x+y) = λP (x,y), Q (λx, λy) = –λx=λ (–x) =λQ (x, y).
Положим у=uх, где u – новая функция от х. Найдем дифференциал произведения: dy=хdu+udх. Подставив выражение у и dy в данное уравнение, получим
(х+uх) dх–х (хdu+udх) = 0, откуда хdх + uхdх–х 2 du–хudх= 0; х dх–х 2 du= 0 или dх–хdu= 0.
Таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, находим
, 
.
Заменяя в полученном выражении u на 
, получим у=x ln (Cx). Это и есть общее решение данного уравнения.
Отметим, что заданное уравнение можно было сначала привести к виду (9.3.2):
. Иначе 
. Далее применять указанную выше подстановку и т.д.
№5. Найти общее решение уравнения: 
.
Решение. Это однородное уравнение третьей степени. Преобразуем его к виду (10.6):
Полагая у = uх, находим 
Подставим значения 
в данное уравнение: 
. Преобразовывая, получим уравнение с разделяющимися переменными 
. Разделяя переменные и интегрируя, находим:
.
Подставим теперь 
в полученное решение. Имеем 
где .
Итак, общее решение исходного уравнения 
№6. Найти частное решение уравнения 
если у=– 1 при х= 1.
Решение. Перепишем уравнение в виде
х 2 dy = (xy + y 2 ) dx (*)
и воспользуемся подстановкой у=uх. Тогда dy= udх+ хdu. Подставив выражение у и dy в уравнение (*), имеем
х 2 (udх + хdu) = (х.uх+u 2 х 2 ) dх;
x 2 (udx+xdu) =x 2 (u+u 2 ) dx;
udx+xdu= udx+ u 2 dx; т.е.
xdu= u 2 dx.
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим
.
Так как u = , то 
.
Используя начальные условия х =1, у = –1,имеем1=ln1 + C, откуда С =1. Следовательно,
,
Отсюда получаемискомое частное решение данного уравнения 
.
№7. Привести дифференциальное уравнение
к однородному.
Решение. Иначе это уравнение можно записать так 
. Здесь 
, поэтому положив x=u+α, y=v+β, получаем (u+β+ 2 ) du– ( 2 u+ 2 α+v+β+ 6 ) dv= 0, т. е.
(u+ (β+ 2 )) du –( 2 u+v+ ( 2 α+β+ 6 )) dv= 0.
Подберем α и β так, чтобы 
Решая систему, находим
α= – 2, β= – 2. Тогда данное уравнение преобразуется к виду (10.5): 
, т.е. является однородным.
Линейные уравнения первого порядка
№8. Решить уравнение 
.
Решение. Здесь P (x)=– ctg x, Q (x) = sin x. Решим уравнение двумя методами.
I. Метод Лагранжа
Найдем сначала общее решение соответствующего ЛОДУ 
, т.е. 
. Предположим, что 
(у =0 – решение данного уравнения), разделяя переменные и интегрируя, получим
, 
,
Отсюда 
.
Общее решение ЛНДУ ищем в виде 
.
Найдем 
.
Подставим у и 
в исходное уравнение:
или 
.
Получили 
или 
. Тогда 
.
Следовательно, общее решение исходного уравнения есть y= (x+C) sin x.
II. Метод Бернулли
Пусть 
. Тогда 
и уравнение принимает вид
,
или
.
Подберем функцию u (x) так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю, т.е. решим первое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными 
,
.
Откуда u=С 1 × sin x.
Пусть С 1=1, u= sin x.
, отсюда 
, т.е. 
.
Итак, y= (x+C)· sin x, 
есть общее решение данного ЛНДУ.
№9. Найти общее решение уравнения 
Решение. Данное уравнение не является линейным относительно х и 
. Так как 
, то приведем исходное уравнение к виду (10.6):
, т.е. 
или 
Далее это ДУ решим двумя методами:
