Распределения Максвелла и Больцмана

Функция распределения по скоростям частиц идеального газа, находящегося в статистическом равновесии, задаваемая формулой

(74)

называется распределением Максвелла.

Выражение (74) позволяет определить число молекул в объеме V, занимаемом идеальным газом, модули скоростей которых лежат в интервале значений от до :

(75)

где – полное число частиц идеального газа.

Чтобы найти среднее число частиц Δ N, модули скоростей которых лежат в интервале значений от до , необходимо проинтегрировать функцию (75) в заданных пределах:

(76)

С помощью распределения Максвелла можно найти наиболее вероятную скорость, среднее значение скорости и среднеквадратичную скорость, которые равны соответственно

(77) (78) (79)

Распределение частиц идеального газа во внешнем поле, в котором потенциальная энергия молекулы зависит только от ее координат, называется распределением Больцмана и задается формулой:

(80)

где – концентрация частиц идеального газа в точке с радиус-вектором ,

– концентрация частиц в точках с нулевой потенциальной энергией.

Распределение концентрации частиц идеального газа и давления атмосферы на любом расстоянии от поверхности Земли в однородном поле силы тяжес-ти определяется по так называемой барометрической формуле:

(81) (82)

где – концентрация частиц идеального газа на высоте h = 0.

P ₀ – давление идеального газа у поверхности Земли.

Заметим, что барометрическая формула справедлива при условии постоянства температуры для всех значений высоты.

 

Задачи

92.(2) Определить температуру водорода, для которой средняя квадратичная скорость молекул больше их наиболее вероятной на 400 м/с.

93.(1) На рис. 4 представлены графики функции распределения Максвелла молекул некоторого идеального газа по скоростям. Как соотносятся температуры газа T ₁, T ₂ и T ₃?

1) T ₁ > T ₂ > T ₃; 2) T ₁ < T ₂ < T ₃; 3) T ₁ = T ₂ = T ₃.

94.(1) На рис.4 представлены графики функции распределения Максвелла молекул водорода, гелия и кислорода по скоростям. Температуры газов одинаковы. Для этих функций верными являются утверждения:

1) кривая 1 соответствует распределению по скоростям молекул кислорода;

2) кривая 3 соответствует распределению по скоростям молекул водорода;

3) кривая 1 соответствует распределению по скоростям молекул гелия;

4) кривая 2 соответствует распределению по скоростям молекул кислорода.

95.(1) На какой высоте плотность газа вдвое меньше его плотности на уровне моря? Температуру газа считать постоянной и равной 0°С. Задачу решить для: 1) кислорода; 2) азота.

96.(2) Найти давление воздуха на вершине горы Казбек (высота над уровнем моря 5033 м). Температуру воздуха считать постоянной и равной 5°С. Давление воздуха на уровне моря 101,3 кПа. Молярная масса воздуха равна 29 г/моль.