Кинематика частицы и поступательного движения АТТ

Положение частиц относительно выбранной системы координат принято характеризовать радиус-вектором , зависящим от времени. Тогда положение тела частицы в пространстве в любой момент времени можно найти по формуле:

. (1)

Среди различных видов движений самым простым является равномерное движение – движение с постоянной скоростью (нулевым ускорением). Очевидно, что такое движение может быть только прямолинейным. Именно при равномерном движении перемещение вычисляется по формуле:

. (2)

Если тело движется по криволинейной траектории так, что модуль скорости остается постоянным (), то пройденный путь может быть вычислен по формуле:

. (3)

Равноускоренное движение – движение с постоянным ускорением (). Для такого движения справедливы формулы кинематики:

; (4) ; (5)

; (6) . (7)

При движении частицы по окружности с постоянной по модулю скоростью она движется с так называемым нормальным (центростремительным) ускорением

, (8)

направленным к центру окружности и перпендикулярным скорости движения.

В общем случае движения по криволинейной траектории ускорение частицы можно представить в виде суммы тангенциального (касательного) и нормального (центростремительного) ускорения:

, (9)

где – орт вектора скорости и орт нормали к траектории;

R – радиус кривизны траектории.

Движение тел всегда описывается относительно какой-либо системы отсчета (СО). При решении задач необходимо выбрать наиболее удобную СО. Для поступательно движущихся СО закон сложения скоростей в классической механике

(10)

позволяет легко переходить от одной СО к другой. В формуле (10) – скорость тела относительно одной СО; – скорость тела относительно второй СО; – скорость второй СО относительно первой.

В общем случае, рассматривая формулу определения ускорения

(11)

как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, скорость частицы можно найти после интегрирования:

(12)

Аналогично, рассматривая формулу определения скорости в общем случае

(13)

как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, положение частицы в пространстве можно найти после интегрирования:

(14)

Путь, пройденный частицей за промежуток времени Δ t = t – t ₀, можно вычислить как интеграл от модуля вектора скорости:

(15)

Радиус-вектор, как и любой другой вектор, можно выразить через проекции и орты выбранной системы координат. Формула

(16)

представляет радиус-вектор в декартовой системе координат.

Система функций

(17)

является уравнением траектории в параметрической форме. При движении в плоскости, например xOy, можно получить уравнение траектории в явном виде: , если из первых двух функций системы (17) исключить время.

 

Задачи

11. (1) С каким ускорением движется поезд, если на пути 1200 м его скорость возросла от 10 м/с до 20 м/с? Сколько времени затратил поезд на этот путь?

12.(1) Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю через 3,2 с. Найти начальную скорость тела и наибольшую высоту подъема. Сопротивлением воздуха пренебречь.

13.(2) Тело поднимают на веревке с поверхности Земли с ускорением 2,7 м/с² вертикально вверх из состояния покоя. Через 5,8 с веревка оборвалась. Сколько времени двигалось тело до земли после того, как оборвалась веревка? Сопротивлением воздуха пренебречь.

14.(1) Баскетболист бросает мяч в кольцо со скоростью 8,5 м/с под углом 63° к горизонту. С какой скоростью мяч попал в кольцо, если долетел до него за 0,93 с? Сопротивлением воздуха пренебречь.

15.(2) Небольшой мяч брошен горизонтально со скоростью 13 м/с. Спустя некоторое время модуль скорости оказался равным 18 м/с. Найти перемещение мяча за это время. Сопротивлением воздуха пренебречь.

16.(2) При открывании двери ручка из состояния покоя движется вместе с дверью по окружности радиусом 68 см с постоянным тангенциальным ускорением, равным 0,32 м/с². Найти зависимость полного ускорения ручки от времени.

17.(2) Грузило, движущееся на леске по окружности с постоянным тангенциальным ускорением, к концу четвертого оборота имело скорость 11 м/с, а после 4,0 с движения его нормальное ускорение стало 92 м/с². Найти радиус этой окружности.

18.(2) Два корабля движутся относительно берега моря со скоростями 9,0 и 12,0 узлов (1 узел = 0,514 м/с), направленными соответственно под углом 30° и 60° к меридиану. Найти скорость второго корабля относительно первого.

19.(2) Реактивный снаряд движется в плоскости xOy так, что его координаты меняются с течением времени по закону: м; м. Найти в момент времени, равный 86 с, векторы скорости и ускорения и их модули. Получить уравнение траектории и построить ее. Определить также перемещение снаряда за первые 12 с движения.

20.(3) Частица движется с зависящей от времени скоростью где А = 1,2 м/с³; В = 7,1 м/с². Найти в момент времени, равный 2,7 с модули ускорения, скорости и радиуса-вектора, а также путь и перемещение частицы за промежуток времени от t ₁ = 1,4 с до t ₂ = 3,8 с. В начальный момент времени частица находилась в начале координат.