Эмпирическая функция распределения

Как известно из теории вероятностей, функция распределения вероятностей случайной величины «X», определяемая соотношением является универсальной формой задания закона распределения, как для дискретных, так и для случайных непрерывных величин.

Поэтому, используя теорему сложения вероятностей и заменяя теоретические вероятности p_i на их оценки , мы получаем следующую эмпирическую функцию распределения F_n(x) для случая дискретной исследуемой случайной величины:

		при
1	при
1+2	при
………
	при

В случае непрерывной исследуемой величины Х при извлечении выборки для случайного события мы опять имеем классическую схему Бернулли, поэтому теоретическая вероятность события «А_i», определяемая в теории вероятностей как , оценивается относительной частотой попадания точки выборки в i -й класс. Припишем эту вероятность середине i -го класса, т.е значению ,

далее строим эмпирическую функцию так же, как и для случая дискретной случайной величины, в результате мы получим:

		при
1	при
1+2	при
………
	при

Полученные таким образом функции являются оценкой теоретической функции распределения F(x); из теоремы Бернулли следует, что F_n(x) сходится по вероятности при объеме выборки n к F(x), т.е. для любого положительного числа  и любого числа -<x<+ .

		при
1/10	при
3/10	при
5/10	при
7/10	при
8/10	при
9/10	при
	при

Пример 6.6.1 Результаты проверки 10 ^ти однотипных приборов на длительность работы представлены следующей таблицей.

 

Таблица 6.6.2

 

i(номер прибора)
x1(время работы в часах)

Статическое распределение частот

Таблица 6.6.3

x1
n1
1	1/10	2/10	2/10	2/10	1/10	1/10	1/10

Эмпирическая функция F*(x).

 

Чтобы найти значение F*(x), нужно подсчитать число вариант, меньших х и разделить на общее число вариант:

 

График функций F*(x)

0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Рис. 6.6.1.

Гистограмма

На практике имеет распространение и другое графическое представление выборки, известное под названием гистограммы выборки.

Предварительно выборка подвергается группировке. Для этого весь интервал числовой оси, в который попадают значения выборки , разбивают на несколько частичных интервалов (обычно 10-20) длиною h и находят для каждого частичного интервала n_i-сумму частот вариант, попавших в i -тый интервал. Над каждым из интервалов, как на основании, строится прямоугольник высотой n_i/h (плотность частоты).