Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
y||+py|+qy=f(x) (6.4.32)
Оно отличается от соответствующего линейного однородного уравнения
y||+py|+qy=0 (6.4.33)
наличием в правой части некоторой функции f(x).
Для нахождения общего решения уравнения (6.4.32) сначала нужно найти общее решение 
уравнения (6.4.33), а затем найти какое-либо частое решение y* уравнения (6.4.32). Их сумма есть общее решение данного неоднородного уравнения (6.4.32):
y= + y*.
Рассмотрим два метода нахождения частного решения.
Метод неопределенных коэффициентов.
Если правая часть уравнения (6.4.32) имеет вид
(6.4.34)
где a и b -действительные числа, а Pn(x) и Qm(x) – многочлены соответственно n-й и m-й степени с действительными коэффициентами, то частное решение y* уравнения (6.4.32) ищется в виде
(6.4.35)
где Ms(x) и Ns(x) – многочлены s-й степени (s – наибольшая из степеней n и m) с неопределенными буквенными коэффициентами, а k – кратность, с которой 
входит в число корней характеристического уравнения r2+pr+q=0, соответствующего однородному дифференциальному уравнению (6.4.33).
Для того, чтобы найти коэффициенты многочленов Ms(x) и Ns(x), искомое частное решение (6.4.35) подставляют в левую часть дифференциального уравнения (6.4.32) и производят соответствующие упрощения; затем в полученном тождестве приравнивают коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях, что дает систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов, из которой определяют эти коэффициенты.
Укажем вид частного решения y* для некоторых частных случаев функции (6.4.34):
1)если a=0, b=0 (т.е. 
=0), то f(x)=Pn(x) и частное решение ищется в виде
y*=xk(A0xn+A1xn-1+…+An),
где k – кратность, с которой нуль входит в число корней характеристического уравнения;
2)если b=0 (т.е. 
=a), то 
и частное решение ищется в виде
y*=xk 
(A0xn+A1xn-1+…+An),
где k – кратность, с которой a входит в число корней характеристического уравнения;
3)если a=0, n=m=0 (т.е. 
= 
), то 
и частное решение ищется в виде
где k – кратность, с которой 
входит в число корней характеристического уравнения.
В том случае, если правая часть уравнения (6.4.32) есть сумма функций вида (6.4.34), т.е.
f(x)=f1(x)+f2(x)+…+fr(x),
нужно предварительно найти частные решения 
соответствующие функциям f1(x),f2(x),…,fr(x). Тогда частное решение уравнения (6.4.32.) запишется в виде
(6.4.36)
Метод вариации произвольных постоянных
Более общим методом решения линейного неоднородного уравнения (6.4.32) является метод вариации произвольных постоянных.
Пусть y1 и y2 – линейно независимые частные решения однородного уравнения (6.4.33). Тогда общее решение неоднородного уравнения (6.4.32) следует искать в виде
y=C1(x)y1+C2(x)y2, (6.4.37)
где функции C1(x) и C2(x) определяются из системы уравнений
(6.4.38)
Решая систему алгебраических уравнений (6.4.38), находим
(6.4.39)
где
(6.4.40)
- определитель Вронского, составленный для решений y1 и y2.
Интегрируя равенства (6.4.39), получаем
(6.4.41)
откуда, подставляя найденные функции C1(x) и C2(x) в соотношение (6.4.37), получим общее решение линейного неоднородного уравнения (6.4.32).
