Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций

I Разложение функции

Эта функция имеет производных всех порядков при любом х: (n=1,2,3,…)

Проверим выполнение условий теоремы 2:

если взять любой промежуток , то в нем верна оценка

(т. е. для всех значений х модули всех производных ограничены одним и тем же числом ).

Поэтому по теореме 2 функция разлагается в сходящийся к ней ряд Маклорена в любом промежутке , т. е. иначе говоря, при всех х (всюду).

Найдем коэффициенты ряда:

таким образом, при любых х верно разложение:

 

Пример 6.2.31. Разложить в ряд Маклорена функцию ; указать интервал сходимости

Решение ,

II Разложение функции

Она имеет производные всех порядков:

Очевидно, условия теоремы 2 выполняются: при всех х и n производная функции по модулю не превосходит единицы.

Следовательно, разлагается в ряд Маклорена и разложение справедливо при всех х.

Найдем коэффициенты ряда:

Таким образом, при любых х верно разложение:

(*) ,

В ряде присутствуют только нечетные степени х; это естественно, т. к. - нечетная функция.

Можно считать равенство (*) определением функции , т. к. радиус сходимости ряда равен бесконечности, и, следовательно, сумма ряда определена и непрерывна на всей числовой оси. Эту сумму и можно по определению считать функцией такое определение не связано с геометрическим построением, с которыми эта функция так тесно связана в школьном курсе математики.

 

III Разложение функции

Разложение в ряд этой функции можно получить так же, как и для

Но можно получить его путем дифференцирования разложения для :

,

Пример 6.2.32. Разложить функцию в ряд по степеням х.

Решение:

IV Разложение функции

Мы должны получить разложение логарифмической функции (в ряд Маклорена) по степеням х. Надо, чтобы сама функция и все ее производные имели смысл при х=0.

Если взять , , и т. д.

Как видим, f(0) и f⁽ⁿ⁾(0) при всяком n лишены смысла. Поэтому рассматриваем функцию Эта функция и все ее производные определены при х=0.

Итак, ;

Разложим эту функцию в ряд, используя возможность почленного интегрирования степенных рядов.

Найдем ; производная может быть разложена в ряд Маклорена, т. к. дробь может рассматриваться как сумма геометрической прогрессии (убывающей) при (знаменатель прогрессии q=-x):

где (радиус сходимости ряда)

Проинтегрируем этот степенной ряд почленно в промежутке , где (интервал интегрирования не выходит за пределы интервала сходимости ряда):

,

Сохраняется ли это равенство при х=±1?

При х=±1 теряет смысл функция , поэтому равенство при х=-1 лишено смысла.

При х=1 сохраняет смысл функция , она обращается в число Ряд сходится (по признаку Лейбница).

Остается проверить, имеет ли место равенство:

(*)

Из рассмотренных выше рассуждений справедливость равенства (*) пока еще не вытекает, т. к. доказали только, что разложение функции верно при .!Для проверки равенства (*) проведем оценку остаточного члена при х=1:

Закон образования производных найти легко:

Остаточный член (в форме Лагранжа):

найдем при х=1:

Т. к. , то при стремится к нулю: при . А это означает (теорема 1), что ряд (*) сходится и имеет своей суммой число , т. е. равенство (*) верно.

Итак, ,

V Разложение функции

; эту дробь при можно рассматривать как сумму убывающей геометрической прогрессии со знаменателем :

Интегрируя в пределах от 0 до х, где , получаем: ; откуда имеем:

, (что будет показано ниже)

Проверим, не сохраняется ли это равенство и при х=±1.

При х=-1 – самостоятельно!

При х=1: ряд принимает вид:

который сходится (по теореме Лейбница).

!Остается проверить, имеет ли место равенство:

(*)

Для этого поступим следующим образом:

т. е. приостанавливаемся на (n+1) члене!!!

Интегрируем это равенство (конечное число слагаемых) в промежутке от 0 до 1:

 

т.к. при , то, следовательно правая часть при (в силу равенства (**)): при ; это и означает, что сумма ряда (*) , т. е. равенство верно.

 

Комплексные числа

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Число , где и - действительные числа, а - так называемая мнимая единица, называется комплексным числом. Действительные числа и называются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа и обозначаются: - есть действительное число; если , а , то число называется числом мнимым.

Два комплексных числа и считаются равными, если равны их действительные и мнимые части, т. е. = при и

Будем изображать комплексное число с помощью точки на плоскости, абсцисса которой равна , а ордината . Тогда всякое комплексное число изобразится с помощью определенной точки, так называемой комплексной плоскости.

Положение точки, изображающей комплексное число z, можно определить также с помощью полярных координат r и φ будем называть соответственно модулем и аргументом комплексного числа z: r =|z|; φ = Arg z. Из определения модуля и аргумента следует, что если , то x = r cos φ =|z | cos (Arg z); y =r sinφ=|z| sin(Arg z);

tgφ (при х ).

Заметим, что величина j=Arg z имеет бесчисленное множество значений, отличающихся одно от другого на целое, кратное 2p. Если величину одного из углов обозначить через j₀, то совокупность величин всех углов запишется выражением

Arg z=j₀+2pk (k=0,±1, ±2,…).

Значение j=Arg z, принадлежащее промежутку ]- p,p[, назы­вается главным и обозначается j₀=arg z, т.е -p<arg z£p.

Следовательно,

Arg z= Arg z++2pk (k=0,±1, ±2,…).

Зная действительную х и мнимую у части комплексного числа z и пользуясь тем, что tg (arg z)=y/x, можно вычис­лить arg z по формуле

Числу 0 не приписывается какое - либо значение аргумента.

Всякое комплексное число, отличное от нуля, можно представить ь в тригонометрической форме

z=x+iy=rcosj+irsinj=r(cosj+isinj).

Замечание 1.1. С помощью формулы Эйлера e^ij=cosj+isinj можно представить комплексное число в показательной форме:

z= r e ^ij .

Комплексные числа z=x+iy и называют взаимно-сопряженными. При этом .

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производят по правилам сложения, вычитания и умножения алгебраических многочленов, полагая при этом i²=-1, i³=-i, i⁴=1,…

При сложении и вычитании комплексных чисел отдельно склады­ваются и вычитаются их действительные и мнимые части:

(x₁+iy₁)±(x₂+iy₂)=(x₁+x₂)+i(y₁+y₂).

Умножение:

(x₁+iy₁) (x₂+iy₂)=(x₁x₂-y₁y₂)+i(x₁y₂+x₂y₁).

Деление определяется как действие, обратное умножению.

Деление удобно производить следующим образом; сначала умножить делимое и делитель на число, сопряженное делителю, после чего делитель станет действительным числом , а затем произвести деление действительной и мнимой частей отдельно;

Если воспользоваться тригонометрической формой записи чисел

z₁=r₁(cosj₁+isinj₁); z₂=r₂(cosj₂+isinj₂);

получим

z₁ z₂=r₁ r₂ [(cos(j₁+j₂)+isin(j₁+j₂)], (6.3.1)

т.e, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются:

. (6.3.2)

Из правила умножения следует правило возведения в целую положительную степень: если

z=r(cosj+isinj), то zⁿ=rⁿ(cosnj+isin nj). (6.3.3)

Нетрудно убедиться, что формула справедлива и при целом отрицательном n.

Извлечь корень целой положительной степени n из числа z - значит найти такое число , n-я степень которого равна z.