Основные понятия
Определение 6.4.1.Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Определение 6.4.2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в данное уравнение.
Например, уравнение 
- первого порядка; 
- второго порядка; 
- третьего порядка и т. д.
Решением дифференциального уравнения называется функция y=y(x), удовлетворяющая этому уравнению. График решения на плоскости xOy называется интегралом уравнения.
Процесс нахождения решения называется интегрированием дифференциального уравнения.
Если решение уравнения получено в неявном виде 
, то оно обычно называется интегралом уравнения.
Задача Коши для уравнения
(6.4.1)
ставится следующим образом. Среди всех решений уравнения (6.4.1) требуется найти решение y=y(x), для которого функция y(x) вместе со своими производными до (n-1)-го порядка включительно принимает заданные значения 
при заданном значении x0 аргумента x, т.е.
(6.4.2)
где x0, y0, y0|,…,y0(n-1) – заданные числа.
Условия (6.4.2) называются начальными условиями решения y=y(x), а само это решение – частным решением уравнения (6.4.1), удовлетворяющим начальным условиям (6.4.2).
Общее решение уравнения (6.4.1) – это решение вида 
, зависящее от n произвольных постоянных C1, C2, …Cn, которые можно подобрать таким образом, чтобы удовлетворить любой системе начальных условий.
Частное решение уравнения (6.4.1) может быть получено из общего решения при некоторых числовых значениях произвольных постоянных C1, C2, …Cn.
Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид
M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy=0. (6.4.3)
Поделив обе части уравнения (6.4.3) на N1(y)M2(x), получим уравнение
,
в котором переменные разделены. Общий интеграл уравнения находится почленным интегрированием:
Однородные уравнения
Уравнение вида
y|=f(y/x) (6.4.4)
называется однородным уравнением.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой y=ux, где u – новая искомая функция. Дифференцируя равенство y=ux, получим
.
Подставив y и 
в уравнение (6.4.4), получим
,
Откуда
. (6.4.5)
Это уравнение с разделяющимися переменными u и x. Найдя общее решение (интеграл) уравнения (6.4.5) и заменив u на y/x, получим общее решение (интеграл) данного однородного уравнения.
Линейные уравнения
Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно (т.е. первой степени) относительно искомой функции y и ее производной 
. Общий вид линейного уравнения
y|+P(x)y=Q(x). (6.4.6)
Линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными, если искомую функцию y заменить произведением двух вспомогательных функций u и v, т.е. положить y=uv. Тогда
,
и данное уравнение (6.4.6.) примет вид
. (6.4.7)
Пользуясь тем, что одну из вспомогательных функций, например v, можно выбрать произвольно, подберем ее так, чтобы выражение в квадратных скобках обратилось в нуль, т.е. в качестве v возьмем одно из частных решений v=v(x) уравнения с разделяющимися переменными
.
Подставляя выражение v=v(x) в уравнение (6.4.7), получаем уравнение относительно функции u:
, (6.4.8)
которое также является уравнением с разделяющимися переменными. Найдя общее решение уравнения (6.4.8) в виде u=u(x,C), получим общее решение линейного уравнения (6.4.6):
y=u(x,C)v(x).
