Законы распределения случайных величин

MathCad использует несколько функций для работы с распространенными законами распределения случайных величин. Эти функции распадаются на три класса:

§ плотность распределения вероятности f(x). Эта функция показывают отношение вероятности того, что случайная величина попадает в малый диапазон значений dx, к величине этого интервала;

Плотность распределения вероятности - производная от соответствующей функции распределения

f(x) = F¢ (x);

§ функция распределения F(x) определяет вероятность того, что случайная величина X будет принимать значение, меньшее фиксированного числа x, т.е.

F(x) = P(X < x)

§ обращение функций распределения позволяет по заданной вероятности p вычислить такое значение x, что P (Х < x) = p.

В таблице 6.2 приведены эти три класса функций для наиболее часто используемых законов распределения случайных величин. На рисунке 6.1 изображена связь между плотностью вероятности и функцией распределения случайной величины.

Рисунок 6.1 - Пример использования функций для работы
с законами распределения случайных величин

Таблица 6.2 - Функции для работы с различными
законами распределения случайных величин.

Вид распределения	Плотность распределения	Функция распределения	Обращение функции распределения
Биноминальное	dbinom (k, n, p)	pbinom (k, n, p)	qbinom (p, n, r)r - вероятность успеха в одиночном испытании
ХИ - квадрат	dchisq (x, d)	pchisq (x, d)	qchisq (p, d)
Нормальное	dnorm (x, m, s) s > 0	pnorm (x, m, s)	qnorm (p, m, s)
Пуассона	dpois (k, l) l > 0	ppois (k,l)	qpois (p,l)
t - распределение Стьюдента	dt (x, d)   d > 0	pt (x, d)	qt (p, d)
Равномерное	dunif (x, a, b)	punif (x, a, b)	qunif (p, a, b)

Функция hist

Для вычисления частотного распределения, применяемого при построении гистограмм в MathCad существует функция

hist (int, A),

которая возвращает вектор, представляющий частоты, с которыми величины, содержащиеся в векторе А, попадает в интервалы, определяемые вектором int. Элементы в А и int должны быть вещественными. Элементы вектора int должны быть расположены в порядке возрастания. Возвращаемый результат - вектор, содержащий на один элемент меньше, чем int.

MathCad интерпретирует int как набор точек, определяющих последовательность интервалов в гистограмме. В возвращаемом функцией hist векторе f, f _i - есть число значений val из A, удовлетворяющих условию:

int_i ≤ val < int_i+1

Данные, меньшие чем первое значение в int и большие, чем последнее значение - игнорируются. На рисунке 6.2 показан пример использования гистограммы в MathCad.

Рисунок 6.2 - Пример использования гистограмм в MathCad

Случайные числа

В MathCad существует набор функций для генерирования случайных чисел, имеющих разнообразные распределения вероятностей. Во всех этих функциях, представленных в таблице 6.3, первый аргумент m есть число случайных точек, содержащихся в векторе, который возвращает соответствующая функция, остальные аргументы - параметры распределения.

Таблица 6.3 - Функции для генерирования случайных чисел

Вид распределения	Функция
Биноминальное	rbinom (m, n, p)
ХИ - квадрат	rchisq (m, d)
Нормальное	rnorm (m, µ, σ)
Пуассона	rpois (m, l)
Стьюдента	rt (m, d)
Равномерное	runif (m, a, b) rnd (x) эквивалентно runif (0, 1, x)

Каждый раз, когда повторно вычисляется выражение, содержащее одну из этих функций, MathCad генерирует новые случайные числа. Чтобы заставить MathCad получить новые случайные числа в уже использованном выражении, нужно щелкнуть мышью на этом выражении и нажать клавишу [ F9 ].

Любая последовательность случайных чисел всегда связана с некоторым начальным значением. Каждое нажатие [ F9 ] заставляет функцию выдать новое значение из этой последовательности. Одно и то же начальное значение производит одинаковые последовательности чисел. Изменение начального значения приводит к смене последовательности случайных чисел, выдаваемых функцией.

Чтобы изменить это значение, нужно выбрать команду Математика/Параметры/Переменные и изменить начальное значение в диалоговом окне.

Чтобы перезапустить генератор случайных чисел MathCad, не изменяя стартового значения, нужно выбрать команду Математика/Параметры/Переменные и нажать “ОК”, чтобы принять текущее значение. Затем необходимо выделить щелчком мыши выражение с функцией, генерирующей случайное число и нажать [ F9 ].

Так как генератор случайных чисел был сброшен, MathCad будет производить те же самые случайные числа, которые генерировались бы после перезапуска MathCad.

Если нужно несколько раз использовать одну и ту же последовательность случайных чисел, необходимо сбрасывать генератор случайных чисел между вычислениями, как это было описано выше.

На рисунке 6.3 показан пример использования генератора случайных чисел, на рисунке 6.4 - как создать вектор случайных чисел, имеющих заданное распределение.

Рисунок. 6.3 - Равномерно распределенные случайные числа

Рисунок 6.4 - Вектор случайных чисел, распределенных по нормальному закону

СИМВОЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Кроме численного решения задач, MathCad может производить некоторые вычисления в аналитическом виде. Выражения можно аналитически разлагать на множители, производить дифференцирование и интегрирование, разлагать функции в ряд и т.д.

Есть два основных способа выполнить символьное преобразование выражений:

§ использование символьного знака равенства;

§ выполнение преобразований с помощью меню Symbolic (Символы).

Имеется весьма существенное различие между этими двумя способами преобразований. При использовании символьного знака равенства полученные результаты вычисляются заново всякий раз при внесении любых изменений в рабочий документ, точно так же как и для численных выражений. Результат, полученный с использованием меню, автоматически модифицироваться не будет. Чтобы получить новый ответ в этом случае, нужно снова выделить исходное выражение, которое только что изменили, и снова выбрать соответствующий пункт из меню Symbolic (Символы).

Не следует ожидать очень многого от работы с аналитическими выражениями, т.к. при работе с символьными вычислениями обнаружится, что, во-первых, многие вычисления могут быть выполнены только численно, а во-вторых еще больше вычислений возвращают такие длинные ответы, что оказывается удобнее выполнять их численно (попробуйте, например, аналитически решить уравнение x ³ + a x + 1 = 0).