Будем рассматривать автономную систему 
и ее «систему первого приближения» 
Заметим, что систему первого приближения можно строить, линеаризуя в окрестности нуля элементы матрицы, заменяя бесконечно малые элементы матрицы эквивалентными.
Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
Пусть 1) 
непрерывны и непрерывно дифференцируемы по 
,
2) 
.
Если все собственные числа матрицы A системы первого приближения имеют отрицательные действительные части, то тривиальное решение устойчиво.
Если хотя бы одно собственное число имеет положительную действительную часть, то тривиальное решение неустойчиво.
Пример. 
Система первого приближения 
Тривиальное решение неустойчиво.
Пример. 
Система первого приближения 
Тривиальное решение устойчиво.
Поскольку для автономных систем анализ устойчивости тривиального решения сводится к исследованию характера точки покоя, то зная поведение решений в окрестности различных точек покоя, мы выясним тем самым поведение траекторий систем.
Классификация точек покоя для автономных систем второго и третьего порядков.
Система второго порядка.
Запишем уравнение автономной системы второго порядка 
Точка покоя.
1. Корни характеристического уравнения 
действительны..
а) 
.
При 
. Поэтому точка покоя (или тривиальное решение) асимптотически устойчива.
Заметим, что первое слагаемое – это проекция траектории на ось 
, второе слагаемое – проекция на ось 
.
Такая точка покоя называется
устойчивый узел.
б) 
.
Этот случай можно рассматривать как предыдущий, если формально положить t < 0. Получим те же траектории, что и в п. а), но стрелки на них будут направлены в другую сторону. Направление движение другое (t<0). Такая точка называется неустойчивый узел.
в) 
.
По вектору 
мы, находясь на траектории, стремимся к нулю, по вектору , наоборот, удаляемся от нуля.
Такая точка покоя - седло.
г) 
.
Это – тоже седло, но стрелки
направлены в другую сторону.
Траектория прижимается к той оси, для которой модуль характеристического числа меньше.
Седла – неустойчивые точки покоя.
Заметим, в ситуациях узлов и седла траектория, начавшись в определенном квадранте, в нем и остается.
д) 
.
Точка покоя – дикритический узел,
Устойчивый при 
, неустойчивый при 
е) 
Точка покоя - вырожденный узел, при 
устойчивая, но не асимптотически устойчивая. Если 
, то точка покоя - неустойчивая (стрелки направлены в обратную сторону)
ж) 
. Точка безразличного равновесия. При изменении времени любая точка 
остается на месте. Этими точками заполнена вся плоскость.
2. Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные.
Параметр t имеет смысл угла поворота вокруг начала координат (в периодической составляющей).
а) Если 
, то траектория приближается к началу координат с ростом t (спираль), так как 
- убывающая функция. Точка покоя устойчивый фокус асимптотически устойчива
б) если 
, то траектория удаляется от начала координат с ростом t (спираль), так как - возрастающая функция. Точка покоя неустойчивый фокус неустойчива
в) если 
, то траектории представляют собой эллипсы, охватывающие начало координат. Точка покоя центр устойчива, но не асимптотически устойчива.
а) б) в)
Пример. 
, 
,
Классифицировать точки покоя в зависимости от параметра.
, 
а) 
седло,
б) 
неустойчивый узел
в) 
вырожденный узел
- комплексно сопряженные.
Так как 
, то точка покоя – неустойчивый фокус
3) 
, точка покоя – неустойчивый дикритический узел.
Система третьего порядка.
Запишем уравнение автономной системы третьего порядка
.
Все корни характеристического уравнения действительны и различны.
.
Картину поведения фазовых траекторий довольно легко представить, рассматривая поведение фазовых траекторий в плоскостях, натянутых на пары собственных векторов. Этот случай уже изучен выше.
а) 
В плоскостях 
, 
, 
, имеем устойчивые узлы. Такая точка покоя так и называется – устойчивый узел.
б) 
В плоскостях , , , имеем неустойчивые узлы. Такая точка покоя называется – неустойчивый узел.
а) б)
в) один корень имеет знак, противоположный остальным двум корням. Точка покоя в этом случае называется седло – узел и является неустойчивой точкой покоя.
Пусть, например, 
. Тогда в плоскости имеем неустойчивый узел, а в плоскостях , - седла. Если 
, то в плоскости имеем устойчивый узел, а в плоскостях , - седла.
.
Заметим, что в ситуациях узлов и седла – узел траектория, начавшись в определенном октанте, не переходит в другой октант.
2) 
- действительный корень характеристического уравнения, - комплексно сопряженная пара корней.
Заметим, что при изменении номера корней ситуация будет аналогичной.
В плоскости имеем фокус, устойчивый при , неустойчивый при .
а) 
. Такая точка покоя называется устойчивый фокус.
б) 
. Такая точка покоя называется неустойчивый фокус.
в) или . Такая особая точка называется седло – фокус и является неустойчивой.
В первом случае по оси 
точка по траектории приближается к плоскости и уходит от начала координат, так как на самой плоскости имеем неустойчивый фокус.
Во втором случае на плоскости имеем устойчивый фокус, поэтому траектория стремится к оси , но удаляется от начала координат по этой оси, так как .
