Начнем изучение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с однородных уравнений второго порядка. Дело в том, что в приближенных инженерных расчетах, в инженерной практике, в исследовании процессов и систем все часто строится на анализе систем, моделями которых служат линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами первого и второго порядка. Вспомним, например, что вся механика строится на втором законе Ньютона, который можно записать в виде дифференциального уравнения второго порядка. Основные элементарные функции являются решениями уравнений первого и второго порядков. Экспонента является решением уравнения 
, 
- решения уравнения 
.
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка
.
Будем искать его решение в виде 
. Подставляя 
в дифференциальное уравнение, получим
Так как 
то имеем
- характеристическое уравнение. Решая его, получим корни
.
Возможно три случая:
1) 
действительны и различны,
2) 
- комплексно сопряженные корни,
3) 
- действительный кратный корень.
В случае действительных, различных корней получаем решения
.
Для того, чтобы доказать, что решения составляют фундаментальную систему решений и общее решение записывается в виде
,
надо проверить линейную независимость 
. Составим определитель Вронского
, так как
.
Заметим, что для уравнения второго порядка проверять линейную независимость можно проще. Надо показать, что 
. Тогда столбцы определителя Вронского линейно независимы и 
. В нашем случае при .
В случае комплексно сопряженных корней , применяя формулу Эйлера 
получим комплексно сопряженные решения 
. Так как линейная комбинация решений линейного однородного уравнения тоже является решением, то 
являются решениями. Они линейно независимы, так как 
.
Следовательно, общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней можно записать по формуле
.
В случае кратного действительного корня 
одно из решений можно выбрать в форме 
.
Второе решение будем выбирать в виде 
. Подставим в дифференциальное уравнение, чтобы определить 
.
,
Так как 
- корень характеристического уравнения, то . Так как еще и кратный корень, то по теореме Виета 
. Поэтому 
. Для определения имеем уравнение 
, отсюда 
. Выберем 
, получим 
.
Следовательно, 
. Решения линейно независимы, так как 
.
Поэтому общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае кратного корня можно записать по формуле
.
Примеры. 1) 
2) 
3) 
4) 
.
5) 
.
Рассмотрим теперь линейное однородное дифференциальное уравнение 
- го порядка с постоянными коэффициентами.
.
Будем искать его решение в виде . Дифференцируя и подставляя в дифференциальное уравнение, получим характеристическое уравнение
.
Каждому корню характеристического уравнения будет соответствовать определенное слагаемое в общем решении однородного уравнения. Если корень кратный кратности r, то такому корню будет соответствовать группа из r слагаемых в общем решении.
Если среди корней характеристического уравнения есть простой действительный корень 
, то ему соответствует частное решение 
в фундаментальной системе решений и слагаемое 
в 
.
Если все корни характеристического уравнения 
действительны и различны, то соответствующие им частные решения будут равны 
. Покажем, что эти решения линейно независимы. Составим определитель Вронского
Полученный определитель известен в алгебре как определитель Вандермонда, он равен нулю только, когда какие-либо из корней совпадают.
Так как корни различны, то определитель Вронского не равен нулю, следовательно, решения линейно независимы и составляют фундаментальную систему решений. Поэтому
.
Если среди корней имеется действительный корень кратности r, то ему соответствуют частные решения
, 
, 
,... 
и группа слагаемых в общем решении
Если среди корней имеется простая пара комплексно сопряженных корней , то им соответствуют частные решения в фундаментальной системе решений 
и группа слагаемых в общем решении
Если среди корней имеется пара комплексно сопряженных корней , кратности r, то им соответствуют частные решения в фундаментальной системе решений 
... 
и группа слагаемых в общем решении
Примеры.
,
