Лекция 21. Системы линейных дифференциальных уравнений

Неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений можно записать в виде

.

Однородную систему линейных дифференциальных уравнений можно записать в виде

.

Все теоремы для линейных систем аналогичны соответствующим теоремам для линейных дифференциальных уравнений высших порядков. Этого и следовало ожидать, так как система дифференциальных уравнений сводится к дифференциальному уравнению высшего порядка.

 

Теоремы о свойствах решений однородной и неоднородной системы.

 

Если - решения однородной системы, то - решения однородной системы.

Если - решения однородной и неоднородной систем, то - решение неоднородной системы.

Если - решения неоднородной системы, то - решение однородной системы.

 

Доказательство.

,

 

Теорема. Множество решений линейной однородной системы есть линейное пространство.

Из теорем о свойствах решений видно, что операции сложения и умножения на число на решениях однородной системы определены корректно.

Легко проверяется ассоциативность по сложению, существования «нуля» – тривиального решения , существование «противоположного элемента» , коммутативность по сложению. Отсюда следует, что решения однородной системы образуют коммутативную группу по сложению (абелев модуль) (4 аксиомы линейного пространства). Существует единица – число, справедлива ассоциативность по умножению на число (еще 2 аксиомы).

Наконец, справедлива дистрибутивность по сложению решений и чисел (последние 2 аксиомы). Таким образом, выполнены все 8 аксиом для корректно введенных операций сложения решений и умножения решения на число. Следовательно, множество решений однородной системы образует линейное пространство. Заметим, что точно так же доказывалась аналогичная теорема для дифференциального уравнения n-ого порядка.

Функции называются линейно независимыми, если

.

Функции называются линейно зависимыми, если

.

Введем определитель Вронского , по столбцам которого расположены векторы , введем также матрицу .

 

Теорема. Если функции линейно зависимы, то .

Доказательство. Так как функции линейно зависимы, то одна из них линейно выражается (тождественно) через остальные, поэтому соответствующий столбец определителя Вронского линейно выражается через остальные. Тогда по свойству определителя .

Теорема. Пусть - решения однородной системы и , тогда решения линейно зависимы.

Доказательство. Т.к. , то его столбцы в линейно зависимы, т.е. .

Рассмотрим решение (с теми же коэффициентами).

- решение однородной системы как линейная комбинация решений однородной системы (теоремы о свойствах решений). Начальные условия для этого решения в точке , как показано выше, нулевые. Но есть решение однородной системы (тривиальное решение ), имеющее те же начальные условия. Следовательно, по теореме Коши решение и есть тривиальное решение. Тогда , следовательно, решения линейно зависимы.

Следствие. Равенство определителя Вронского нулю для решений однородной системы хотя бы в одной точке – критерий линейной зависимости решений, отличие определителя Вронского от нуля для решений однородной системы хотя бы в одной точке – критерий линейной независимости решений.

Доказательство. Пусть , тогда решения линейно зависимы. Если решения линейно зависимы, то по теореме о равенстве определителя Вронского нулю для системы линейно зависимых функций. Заметим, что тогда .

Пусть , если решения линейно зависимы, то (противоречие). Пусть решения линейно независимы. Если , тогда решения линейно зависимы (противоречие).

Теорема. Размерность пространства решений однородной системы равна n.

Доказательство. Надо доказать 1) существуют n линейно независимых решений однородной системы, 2) любое решение однородной системы линейно выражается через эти линейно независимые решения.

1) В любой точке для однородной системы выполнены условия теоремы Коши, следовательно, через любую такую точку пройдет единственная интегральная кривая – график решения однородной системы. Зададим такие точки – начальные условия, которые по теореме Коши определят решения .

Эти решения линейно независимы, так как .

Существование n линейно независимых решений однородной системы доказано.

2) Рассмотрим произвольное решение однородной системы . В точке вектор разлагается по естественному базису

.Поэтому

Рассмотрим решение - линейную комбинацию этих линейно независимых решений. Оно имеет те же начальные условия, что и выбранное произвольное решение . Следовательно, по теореме Коши выбранное произвольное решение и есть (тождественно равно) . Поэтому произвольное решение линейно выражается через выбранные линейно независимые решения. Теорема доказана.

 

Любые n линейно независимых решений однородной системы представляют собой базис в пространстве решений и называются фундаментальной системой решений однородной системы.

Матрица , составленная из этих решений , называется фундаментальной матрицей однородной системы.