Каноническое уравнение прямой

Введем понятие направляющего вектора прямой, это любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой = . Очевидно, что точка (, ) лежит на этой прямой тогда и только тогда, когда векторы = и = коллинеарны, т. е., когда координаты этих векторов пропорциональны:

(14.4)

– каноническое уравнение прямой.

(Отношение следует понимать как ,

т. е. если l = 0, а m ¹ 0, то х – х ₁ = 0).

Отсюда уравнение прямой, проходящей через две данные точки (х ₁, у ₁), (х ₂ ,у ₂):

(14.5)

Пример 14.2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки М (—1; 3) и N (2; 5).

. Решение. В уравнении берем , , , . Получаем или . Итак, искомое уравнение имеет вид 2 х -3 у +11=0.

Пример 14.3. Составить каноническое уравнение медианы АЕ треугольника, вершинами которого являются точки

Решение. Медиана АЕ делит сторону ВС пополам. Тогда, используя формулу для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном соотношении (4.9), найдем координаты точки Е.

Зная координаты точки и координаты вершины , составим каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки

. Тогда или - каноническое уравнение медианы АЕ.

Пример 14.4. Даны вершинытреугольника: Составить уравнение биссектрисы угла А.

Решение. Пусть точка D – точка пересечения биссектрисы со стороной ВС. Из свойства биссектрисы внутреннего угла

треугольника следует, что

.Но ,

Следовательно,

Так как известно отношение, в котором точка D делит отрезок ВС, токоординаты точки D определятся по формулам , или , т.е. . Задача сводится к составлению уравнения прямой, проходящей через точки А и D:

, т.е.

Параметрические уравнения прямой.

Примем за параметр величину = t, тогда область определения t: -¥ < t < ¥. Мы получим х – х₁ = lt; у – у₁ = mt и параметрическое уравнение прямой

х = у = (14.6)

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Тангенс угла наклона прямой к оси назовем угловым коэффициентом этой прямой: .

Уравнение прямой, проходящей через точку М ₁(х ₁, у ₁) и имеющей заданный угловой коэффициент k, запишется в виде: у – у₁ = k(х – х₁) (5.7)

Если обозначить постоянную у₁ – kx₁ = b, то (5.7) примет вид

у = kx + b (14.8)

Пример 14.5. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок b= - 3 и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол α = .

Решение. Находим угловой коэффициент: . Воспользовавшись уравнением прямой с угловым коэффициентом, получаем ; освобождаясь от знаменателя и перенося все члены в левую сторону, получаем общее уравнение прямой .

Угол между двумя прямыми.

.Пусть прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом у = k ₁ х+ b ₁ и у = k ₂ x + b ₂; и = - угол между прямыми. Тогда

(14.9)

Прямые параллельны, если = 0, и условие параллельности

(14.10)

Условие перпендикулярности – это условие того, что tg j не существует, т.е. 1 + = 0, отсюда условие перпендикулярности

(14.11)

Пример 14.6. Определить угол между прямыми

1) у =2 x +5 и у =-3 х +1:

2) и

Решение. 1) В формуле принимаем , , тогда , т. e .

.2) Здесь , . Так как , то прямые перпендикулярны.

Пример. 14.7. Даны уравнения высот треугольника АВС: x+y -2 = 0; 9 x - 3 y -4=0 и координаты вершины A (2; 2). Составить уравнения сторон треугольника.

Решение. Легко убедиться в том, что вершина А не лежит ни на одной из заданных высот: ее координаты не удовлетворяют уравнениям этих высот.

Пусть 9 x – 3 у – 4 = 0 - уравнение высоты ВВ ₁ и x+y -2=0 - уравнение высоты СС ₁. Составим уравнение стороны АС, рассматривая ее как прямую, проходящую через точку А и перпендикулярную высоте ВВ ₁. Так как угловой коэффициент высоты ВВ ₁ равен 3, то угловой коэффициент стороны АС равен -1/3, т. е. k _AC=-1/3. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через данную точку и имеющей данный угловой коэффициент, получим уравнение стороны АC: y -2=-1/3(x -2), или x + 3 y – 8 = 0. Аналогично получаем k , k _AB=1 и сторона АВ определится уравнением у – 2 = x - 2, т. е. у = х. Решив совместно уравнения прямых АВ и ВВ ₁ а также прямых АС и СС ₁, найдем координаты вершин треугольника В и С: В (2/3;2/3) и С (-1;3). Остается составить уравнение стороны ВС:

, т.е.7 x + 5 y – 8 = 0.

Вопросы для самопроверки

1. Как записывается общее уравнение прямой на плоскости?

2. Как записываются параметрические уравнения прямой на плоскости?

3. Что называется угловым коэффициентом прямой на плоскости и каков его геометрический смысл в декартовой прямоугольной системе координат?

4. Как записывается уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости?

5. Как вычисляются углы между двумя прямыми на плоскости? Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости?