Застосування диференціала до наближених обчислень

ГЕОМЕТРИЧНИЙ ТА МЕХАНІЧНИЙ ЗМІСТ ПОХІДНОЇ.ДОТИЧНА ДО КРИВОЇ.

Механічний зміст похідної: похідна S`(t) є величиною миттєвої швидкості в момент t тіла, що рухається за законом S=S(t)/

Геометричний зміст похідної: похідна f`(x) дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції у=f(x) в точці з абсцисою х.

Рівняння дотичної до графіка функції у=f(x) у точці з абсцисою має вигляд

У=

ЗАВДАННЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

1.В якій точці дотична до графіка функції у= паралельна осі абсцис.

2.При якому значенні а крива у= перетинає вісь Ох під кутом .

3.Скласти рівняння дотичної до параболи у= в точці (3;4).

4.Два тіла рухаються прямолінійно: одне згідно закону ,а друге – згідно закону .Знайти момент часу, коли швидкості цих тіл будуть рівними.

ЗВ'ЯЗОК МІЖ НЕПЕРЕРВНІСТЮ ТА ДИФЕРЕНЦІЙОВНІСТЮ ФУНКЦІЙ.

ТЕОРЕМА. Якщо функція у=f(х) диференційовна в деякій точці , то вона в цій точці

неперервна.

НАСЛІДОК.З цієї теореми випливає, що неперервність функції є необхідною умовою

Диференційовності функції. Це означає, що в точках розриву функція не

має похідних, тобто вона не диференційовна.

ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ. ПРАВИЛО ЛОПІТАЛЯ.

Теорема Лагранжа. Якщо функція у=f(x) неперервна на [a,b] і має похідну в усіх точках

інтервала (а;b), то всередині цього інтервалу існує хоч би одна точка с

(а <c<b) така,що виконується рівність

Теорема Ролля. Якщо функція у=f(x) неперервна на відрізку [a;b],диференційовна в усіх

внутрішніх точках цього відрізка,а на його кінцях приймає рівні значен-

ня.то похідна f`(x) дорівнює нулю хоч би в одній внутрішній точці с

(a<c<b) цього відрізка.

Правило Лопіталя. Нехай f(x) та g(x)-неперервні та мають похідні в усіх х а з околу точ-

ки х=а,а в точці а рівні нулю або нескінченності.Тоді границя відно-

шення функцій дорівнює границі відношення їх похідних,якщо остання

існує, тобто

Якщо відношення знову є невизначеністю вигляду або і похідні f`(x) та

g`(x) задовільняють умовам правила Лопіталя, то для обчислення границі можна засто-совувати правило Лопіталя вдруге і т. д.

Приклад. Обчислити .

В данному випадку та задовольняють умовам правила Лопіталя.Відно-

шення їх є невизначеністю вигляду при х . Застосувавши правило Лопіталя,

одержуємо:

ЗАВДАННЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ.

Обчислити границі:

Застосування диференціала до наближених обчислень

Головна частина приросту функції, яка лінійно залежить від приросту аргумента,називається диференціалом функції, позначається dy і обчислюється згідно

формули dy=f`() .