Логарифмічна ф-ія дійсної та комплексної змінної (означення, властивості). Розклад її в степеневий ряд. Логарифмічна ф-ія в школі

Ф-ія, обернена до показникової (), наз. логарифмічною. Записується: , де - основа, причому , - аргумент.

Властивості: 1) ; 2) ; 3) Ф-ія ні парна, ні непарна; 4) - нуль ф-ції; 5) Ф-ія монотонна: при спадає, а при - зростає; 6) При : , якщо ; ,якщо . При : , якщо ; ,якщо .

Логарифмічною ф-єю від комплексної змінної наз ф-ія, обернена до показникової (). оскільки ф-ія ніколи не приймає значення 0. Позначається .

Знайдемо дійсну і уявну частини ф-ії .

Положим , , де , , . Тоді маємо . Прирівнявши модулі і аргументи правих і лівих частин отриманого комплексного рівняння, знаходимо , . Таким чином, , Ввівши позначення, маємо . Логарифм (як ф-ія деякої комплексної змінної) нескінченнозначна ф-ія, дійсна частина якої визначається однозначно і дорівнює натуральному логарифму його модуля, а уявна – дорівнює аргументу числа.

Відмітимо особливо важливі часткові випадки.

1. - додатнє число: . Тоді

і

…

має нескінченну множину значень: …, …, але тільки одне із них (при ) дійсне: саме те значення ,яке відоме із елементарної алгебри.

2. - від’ємне число .Тоді і для отримаємо наступні значення:

…, ….,

().

Значень і в цьому випадку буде нескінченна множина, але серед них немає ні одного дійсного. Тому в елементарній алгебрі і стверджують, що не існує логарифма від’ємного числа.

3.Модуль числа дорівнює одиниці: . Тоді і . Всі значення логарифма числа уявні.

Основні властивості логарифмічної ф-ії:

, , .

12. Поняття похідної для ф-ій однієї і кількох змінних; геометричний та механічний зміст похідної. Похідні основних елем. ф-ій, правила диференціювання.

Задача про проведення дотичної до кривої.

До даної прямої в даній точці проведемо дотичну .

Озн. Дотична до кривої, заданої р-ням наз. граничне положення січної , якщо .

,

. Звідси

Границя відношення приросту ф-ії до приросту аргументу, якщо , якщо вона існує, наз. похідною ф-ії в точці .

Геометричний зміст. Похідна від ф-ії в даній точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до кривої, заданої рівнянням в точці х_о.

Фізичний зміст. Похідна від шляху по часу = миттєвій шв.або шв. в даний момент часу.

- р-ня дотичної.

- р-ня нормалі (нормаль – це пряма, перпендикулярна до дотичної).

Похідні основних елементарних ф-ій.

1. ;

2. ;

3. ;

;

;

4. ;

;

5. ;

;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. .

Операція знаходження похідної даної ф-ії наз.її диференціюванням.

Правила диференціювання.

1) Похідна суми двох диференціальних ф-ій дорівнює відповідній сумі похідний цих ф-ій.

.

Доведення

Дамо аргументу приріст . Тоді ф-ії , отримають в свою чергу приріст , оскільки зв’язані рівністю . Тоді

.

Звідси . Знайдемо границю , або , що й треба було доказати.

2) Похідна від добутку двох диференціальних функцій дорівнює сумі добутків першої ф-ії на похідну другої і другої на похідну першої.

3) Сталий множник можна винести за знак похідної.

4) Похідна від частки двох диференціальних ф-ій дорівнює дробу, у якого знаменник дорівнює , а чисельник дорівнює різниці добутків першої ф-ії на похідну другої і другої на похідну першої.

.