Теорема Ролля. Т-ма Лагранжа. Т-ма Коші

Т-ма Ролля:

Якщо ф-я f(x) є С неперервна на відрізку диференційована в інтервалі і на кінцях відрізка приймає рівні значення, тоді принаймні одна точка С така, що (пох. в ній дор. 0).

1)

2)

3)

Доведення: За ІІ теоремою Вейєрштраса всяка неперервна ф-я приймає своє наближене значення.

І) m=M, , f(x)=C=const, f′(x)=0

II) m<M, f(a)=f(b)

Найб. і найм. знач. не можуть досягти у внутрішній точці С , тоді за Т. Ролля .

Серед усіх дотичних до кривої у=f(x) принаймні одна паралельна до Ох.

Т-ма Лагранжа: Якщоф-я f(x) неперервна на відрізку , диференційована в інтервалі (a,b), і тоді т. С таке, що має рівність .

1) f(x), х

2)

Звідси випливає, що .

.

Ця ф-я задов. всім вимогам умови Ролля:

1)

2^о)

3^о) , тоді за Т. Ролля

, ,

Якщо дотична паралельна до січної, що сполучає точку А і В.

Ф-ла Лагранжа застос. до будь-якого відрізка або для будь-якого

. , , ,

.(с-проміжна точка,

).

Теорема Коші. Якщо ф-я f(x) і φ(х) неперервні на відрізку , диференційовані в інтервалі (а,b) при чому φ^´(x)≠0, тоді існує принаймні одна т.C, така, що має місце рівність: .

1^о

2^о . Звідси випливає . Якщо покласти φ(x)=x, то .

Доведення: Введемо допоміжну ф-ю . Ця ф-я задовольняє всім вимогам теореми Ролля. Тоді за Т.Ролля , ,

.

Екстремуми ф-ції. Опуклість і точки перегину. Асимптоти.

Необх. умова існув. екстремуму: Якщо є т. максимуму або мінімуму і в цій т. існує похідна, то ця пох.=0. Для дослідж. ф-ії на екстр. необх. знайти нулі 1-ї похідної і т. в яких вона не існує, дослід. зміну знака 1-ї пох. при переході через крит.точки.

Опуклість.

Крива задана р-м y=f(x) назив. вгнутою (опуклою) в т. , якщо існує такий окіл цієї точки, що для всіх х з цього околу відповідні точки кривої лежать під (над) дотичною, проведеної до кривої в т. .

т. назив. точкою перегину графіка ф-ії, якщо існують такий окіл цієї точки, що для всіх всі точки кривої лежать під (над) дотичною, а для всіх правих - над (під) дотичною.

Теорема. Нехай крива у=f(x) та існує такий -окіл т. , що фун-ія f(x) в околі цієї точки має похідні до другого порядку включно, при чому друга похідна в т. х є неперервна, тоді якщо f ”(x₀)>0 – вгнута, f ”(x₀)<0 – опукла.

Доведення: (розглянемо випадок)

Позначимо через у і х відповідно, У= f(x₀)- f ‘(x)(х-х₀);

у-У= f(x)- f(x₀)- f ‘(x)(х-х₀);

Запишемо формулу Тейлора для функції: -

, , . Якщо друга похідна додатна:

у-Y>0,у>Y, то крива вгнута. Якщо друга пох.<0,то крива опукла.

Асимптоти. Нехай задано y=f(x), f(x) -неперервна. Крива l назив. асимптотою графіка ф-ії y=f(x), якщо відстань від т.М кривої l до даної прямої прямує до нуля, коли т.М рухається в нескінченність, тобто . Асимптоти бувають: вертикальні(), горизонтальні() і похилі(). . Якщо хоч одне b або k не існує, то крива не має асимптот.