Первісна та її властивості, невизначений інтеграл. Основні методи інтегрування

Ф-ція F(x) назив. первісною для ф-ції у=f(x), якщо =f(x).

Властивості: Якщо =f(x), (х)= f(x), то

F(x)-Ф(х)=с=const.

Дов.: - (х)= = =0.

Множина або сукупність всіх первісних для даної ф-ції f(x) назив. невизначеним інтегралом: =F(x)+с.

Властив.:1)Диференціал від інтеграла = підінтегральному виразу: ; 2)Інтеграл суми =сумі інтегралів; 3)Сталий множник можна винести за знак інтеграла.

Методи інтегрування:

1)Безпосереднього інтегрування(табличне);

2) Підстановки.

П-д: ;

3) Інтегрування частинами: . Методом інтегрування частинами зручно обчислювати такі інтеграли а) , , де Р(х)-многочлен, який слід взяти за u, а за dv – вираз, що залишився. б) , ,де Р(х)dx слід взяти за dv.

Інтегрув. раціональних ф-й зводиться до інтегрування елементарних дробів: і (n є N). ; ;

Інтегрування біномних диференціалів:

, де m,n,p Q,ab R.

1)p Z, , де S=НСК знаменників n,m, dx = .

2)p Z,p= :

a) ,s-знаменник р.

б) , тоді шук. , тоді буде така підстановка .

Інтегрування тригонометричних ф-й:

1) . Універс. підстановка

, , .

2) , ,

-sinxdx=dt, = = .

3) R(sinx, -cosx), sinx=t, cosxdx=dt.

4) R(-sinx, -cosx)= R(sinx,cosx).

Визначений інтеграл та умови його існування. Формула Ньютона-Лейбніца, вивчення інтеграла в школі.

Задача про обчислення площі кривої трапеції.

Обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженої зверху зверху кривою у=f(х), f(х) є С [а, в], f(х)>=0; знизу віссю 0х, у=0; зліва х = а; зправа х = в.

Для розв’язання цієї задачі поступаємо так:

1.

@ ділимо основу трапеції, тобто [а, в] точками х_і довільним способом на n чистин. (будемо мати n-1 точок) х₁<x₂<x₃<…<x_і-1<х_і<…<х_n-1.

@ довжину кожного відрізка х_і - x_і-1 = х_і.

@ одержали відрізки [а, х₁], [х₁, х₂], …, [x_і-1, х_і]…[ х_n-1, в] – частинні відрізки;

@ через кожну із точок х_і провод. прямі перпенд. до 0х до перетину з кривою у=f(х).

2.

@ На кожному із частинних відрізків ∆х_і вибир. дов. т. .

@ В цих точках постав. перпенд.

@ Через кожну з точок провед. пряму.

@ одержимо n прямокутників.

@ довжина основи кожного з них є ∆х_і , а висотами значення функції в цій точці.

3.

@ Площа одного такого прям. дорівнює: S_i = f()*∆х_і (i=1, …n).

@ Суму цих площ позначимо: .

@ Очевидно, що це не буде площа цієї трапеції, а буде наближено до неї.

4.

@ Тому природно, за площу криволінійної трапеції аАВв прийм. границю даної суми, якщо вона існує. .

@ .

Задача з механіки.

Обчислити роботу, яку викон. змінна сила F при переміщ. матеріальної точки з полож. А у полож. В, яка діє у напрямку переміщення.

Для розв’язання цієї задачі поступ. так:

1.

@ ділимо шлях [а, в] точками S_i (i=1, …, n-1) довільно на n частин;

@ Тоді S_i - S_{i -1} = ∆S_і;

2.

@ Вибир. є [S_{i -1}, S_i].

@ Будемо вважати, що на кожному із відрізків ∆S_і це сила стала і дорівнює з-ню її в т. . F ().

3. А_і = F ()∆S_і

А_n = F ()∆S_і

А А_n

Природно, що за роботу, яку викон. це сила F на в-ку [а, в] слід прийняти:

;

Обидві зад. привели нас до обчисл. однотипних границь.

 

2. Нехай задана функція у=f(х), х є [а, в].

1. Ділимо в-зок [а, в] дов. способом на т. х_і на n частин.

Довжину кожного із в-ків х_і – х_і-1 = ∆х_і.

Ці в-ки назив. частинними.

2. На кожному з цих частин. в-ків вибир. довільно і обчисл. з-ня в кожній з цих точок.

3. Склад. суму добутків:

= .

Це сума назив. інтегр. сумою на в-ку [а, в].

4. В-ня: Границя інтегральної суми при умові, що , якщо вона існує і не залежить ні від способу розвит. в-ка [а, в] на част. в-ки, ні від вибору точок на кожному з них назив. визначеним інтегралом від ф-ції f(х) на в-ку [а, в] і познач.: , де а, в – межі інтегрування; а – нижня; в – верхня; f(х) – підінтегр функції; f(х)dx – підінтегр. вираз.

Отже, за визнач. маємо .

Познач: , тоді .

.

Геометричний зміст. Див. зад. 1 (площина кр. трап.).

де , .

Механічний зміст. .

Див. зад. 2.

Суми Дарбу. Надалі будемо вважати не обхід. умова викон.

Очевидно, що якщо f (x) неперервна, то за І т. Веєри вона обмежена і на цьому в-ку прим. своє найб. і найм. значення. , тобто [х_і-1, х_і]. лежить між т_і і М_і. , . Назив нижньою (S) і верхньою (S) інтегральними сумами для фун-ції f (x), або сумами Дербу. Якщо А помнож. на х_і і просумув., то матимемо , то очевидно, що . Будь-яка інтегр. сума лежить між інтегр. сумами Дарбу. Тоді S, S – точні межі для інт. суми б.

Умови існування інтеграла. Для того, щоб інтеграл існував необхідно і достатньо, щоб .

Доведення:

1. Необхідність.

Припустимо, що інтеграл існує, тобто , . , але суми S і S при заданому розбитті є для інтегральних сум б відповідно точними верхньою і нижньою границями. Тому для них матиме місце нерівність. Із , .

2. Доступність:

Дано: Нехай , тоді з цієї умови і умови , тоді , але тоді , .

Умови існування визн. інтегр. можна сформулюв. і через колив. фун-ції, яке має практичне застосування.

.

Тоді, .