Для диференціального рівняння першого порядку

Розв’язком задачі Коші для диференціального рівняння

є функція, що задовольняє рівняння та початкову умову y(x₀)=y₀. Наближення згідно означення похідної у рівнянні виразом y ’≈(у_i+1-y_i)/h, де

h= x _n+1 - x _n, дозволяє одержати формулу Ейлера послідовного обчислення значень функції для розв’язку задачі Коші:

.

Покажемо на прикладі як використовуючи метод Ейлера, виконати перші п’ять кроків наближення значення розв’язку задачі Коші для диференціального рівняння першого порядку:

при h= x _n+1 - x _n = 0,2 з початковою умовою x₀= 0; y₀= 1.

З початкової умови маємо значення x₀= 0; y₀= 1. Тоді

Продовжуючи одержуємо значення розв’язку:

i	x	y
	0,2	1,40
	0,4	1,98
	0,6	2,83
	0,8	4,11
		6,01

Проте метод Ейлера має похибку порядку h, а отже на практиці використовують модифікації цього методу, що одержали назву методів Рунге-Кута:

;

Використовуючи метод Рунге-Кута, виконати перші кроки обчислення значень розв’язку задачі Коші для диференціального рівняння першого порядку:

при h= x _n+1 - x _n = 0,5. Початкова умова x₀= 0; y₀= 1.

 

З початкової умови x₀= 0; y₀= 1. Тоді

Продовжуючи одержуємо значення розв’язку:

i	x	y
	0,5	2,818
		8,522
	1,5	25,606
		61,104

 

Пакет Maple дозволяє будувати як загальний розв’язок диференціальних рівнянь так і розв’язок задачі Коші оператором

dsolve ();

Зокрема, для побудови загального розв’язку диференціального рівняння оператор

дозволяє одержати розв’язок

.

У випадку задачі Коші записуємо

одержуючи розв’язок

.

Графіки розв’язків задачі Коші при різних початкових умовах (інтегральні криві диференціального рівняння) будуємо оператором

На графіку бачимо три інтегральні криві, що є розв’язками диференціаль-ного рівняння при початкових значеннях -2;1;3.

 

Рис. 4.

Проте в багатьох випадках функція, що є розв’язком задачі Коші не записується у явній формі і може визначатись лише числовими методами.

Такий розв’язок будується у формі відповідної процедури.

Після вводу одержуємо

Сформовану процедуру можна використовувати для обчислення значень. Зокрема рядок

дає значення

.

За потреби значення числового розв’язку можна вивести масивом

Одержуючи таблицю значень розв’язку задачі Коші:

 

 

Завдання 6

Використовуючи метод поділу навпіл, обчислити перші три кроки наближення кореня рівняння на проміжку . Обчислення проводити з точністю 0,01. Результат записати визначивши середню точку тричі звуженого інтервалу.

Спочатку необхідно пересвідчитись,що проміжок містить лише один корінь рівняння: . Це можна виконати шляхом табулювання значень функції чи графічно. Функція один раз міняє знак на проміжку .

Для заданої функції проміжку умова виконується.

x	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
y	-1	-1,27	-0,86	0,296	2,232	5

Рис. 5

Згідно методу поділу навпіл (діхотомії) на кожному кроці наближення визначається середня точка інтервалу . З одержаних таким поділом частин залишаємо відрізок на кінцях якого функція міняє знак. Якщо виконується умова

то обираємо .

В протилежному випадку .

Використаємо запропоновану ітераційну схему.

 

Умова не виконується отже

.

Умова виконується отже

.

Умова виконується отже

Четверте наближення кореня рівняння

вважаємо достатнім при запропонованій точності

.

Приймаємо корінь рівняння:

 

 

Завдання 7

Визначити точку мінімуму функції двох змінних

.

За допомогою градієнтного методу найшвидшого спуску, виконати два кроки наближення.

Знайдемо вектор градієнта, що визначає напрям найшвидшої зміни функції:

.

Оскільки відомо, що задана функція може мати лише одну екстремальну точку початкове наближення вибираємо довільно

Методом найшвидшого спуску наступне наближення обчислюємо за формулою

Виконаємо перший крок наближення:

,

Визначаючи значення параметра мінімізуємо одержану функцію однієї змінної. Очевидно

Перше наближення: і

Виконаємо другий крок.

,

Значення параметра визначаємо з умови мініму одержаної функції.

Друге наближення: і .

Зауважимо, що довжина вектора градієнту на кожному кроці зменшується, що є ознакою наближення до точки екстремуму.Необхідна умова екстремуму .

Для заданої в умові функції з необхідної умови екстремуму, що складає систему двох лінійних ріинянь, легко визначити координати точки екстремуму: і оцінити ефективність обчислених наближень:

.