Для диференціального рівняння першого порядку

Розв’язком задачі Коші для диференціального рівняння

є функція, що задовольняє рівняння та початкову умову y(x₀)=y₀. Наближення згідно означення похідної у рівнянні виразом y ’≈(у_i₊₁-y_i)/h, де

h= x _n₊₁ - x _n, дозволяє одержати формулу Ейлера послідовного обчислення значень функції для розв’язку задачі Коші:

Покажемо на прикладі як використовуючи метод Ейлера, виконати перші п’ять кроків наближення значення розв’язку задачі Коші для диференціального рівняння першого порядку:

при h= x _n₊₁ - x _n = 0,2 з початковою умовою x₀= 0; y₀= 1.

З початкової умови маємо значення x₀= 0; y₀= 1. Тоді

Продовжуючи одержуємо значення розв’язку:

i	x	y

	0,2	1,40
	0,4	1,98
	0,6	2,83
	0,8	4,11
		6,01

Проте метод Ейлера має похибку порядку h, а отже на практиці використовують модифікації цього методу, що одержали назву методів Рунге-Кута:

;

Використовуючи метод Рунге-Кута, виконати перші кроки обчислення значень розв’язку задачі Коші для диференціального рівняння першого порядку:

при h= x _n₊₁ - x _n = 0,5. Початкова умова x₀= 0; y₀= 1.

З початкової умови x₀= 0; y₀= 1. Тоді

Продовжуючи одержуємо значення розв’язку:

i	x	y

	0,5	2,818
		8,522
	1,5	25,606
		61,104

Пакет Maple дозволяє будувати як загальний розв’язок диференціальних рівнянь так і розв’язок задачі Коші оператором

dsolve ();

Зокрема, для побудови загального розв’язку диференціального рівняння оператор

дозволяє одержати розв’язок

У випадку задачі Коші записуємо

одержуючи розв’язок

Графіки розв’язків задачі Коші при різних початкових умовах (інтегральні криві диференціального рівняння) будуємо оператором

На графіку бачимо три інтегральні криві, що є розв’язками диференціаль-ного рівняння при початкових значеннях -2;1;3.

Рис. 4.

Проте в багатьох випадках функція, що є розв’язком задачі Коші не записується у явній формі і може визначатись лише числовими методами.

Такий розв’язок будується у формі відповідної процедури.

Після вводу одержуємо

Сформовану процедуру можна використовувати для обчислення значень. Зокрема рядок

дає значення

За потреби значення числового розв’язку можна вивести масивом

Одержуючи таблицю значень розв’язку задачі Коші:

Завдання 6

Використовуючи метод поділу навпіл, обчислити перші три кроки наближення кореня рівняння на проміжку . Обчислення проводити з точністю 0,01. Результат записати визначивши середню точку тричі звуженого інтервалу.

Спочатку необхідно пересвідчитись,що проміжок містить лише один корінь рівняння: . Це можна виконати шляхом табулювання значень функції чи графічно. Функція один раз міняє знак на проміжку .

Для заданої функції проміжку умова виконується.

0,2

0,4

0,6

0,8

-1

-1,27

-0,86

0,296

2,232

Рис. 5

Згідно методу поділу навпіл (діхотомії) на кожному кроці наближення визначається середня точка інтервалу . З одержаних таким поділом частин залишаємо відрізок на кінцях якого функція міняє знак. Якщо виконується умова

то обираємо .

В протилежному випадку .

Використаємо запропоновану ітераційну схему.

Умова не виконується отже

Умова виконується отже

Четверте наближення кореня рівняння

вважаємо достатнім при запропонованій точності

Приймаємо корінь рівняння:

Завдання 7

Визначити точку мінімуму функції двох змінних

За допомогою градієнтного методу найшвидшого спуску, виконати два кроки наближення.

Знайдемо вектор градієнта, що визначає напрям найшвидшої зміни функції:

Оскільки відомо, що задана функція може мати лише одну екстремальну точку початкове наближення вибираємо довільно

Методом найшвидшого спуску наступне наближення обчислюємо за формулою

Виконаємо перший крок наближення:

Визначаючи значення параметра мінімізуємо одержану функцію однієї змінної. Очевидно

Перше наближення: і

Виконаємо другий крок.

Значення параметра визначаємо з умови мініму одержаної функції.

Друге наближення: і .

Зауважимо, що довжина вектора градієнту на кожному кроці зменшується, що є ознакою наближення до точки екстремуму.Необхідна умова екстремуму .

Для заданої в умові функції з необхідної умови екстремуму, що складає систему двох лінійних ріинянь, легко визначити координати точки екстремуму: і оцінити ефективність обчислених наближень: