МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ
МОДЕЛЬ
Наукове пізнання та моделювання. Моделювання як метод виникло у зв’язку з необхідністю розв’язування завдань, які з тих чи інших причин не можуть бути розв’язані безпосередньо. Перенесення знань з одних об’єктів на інші, які в певному сенсі подібні між собою, в логіці називається виведенням за аналогією. Приклади: Гермес, Франклін. Метод моделювання відрізняється від інших методів тим, що об’єкт вивчається з його допомогою не безпосередньо, а шляхом дослідження іншого об’єкта, анлогічному в певному сенсі першому. При моделюванні між дослідником і об’єктом пізнання знаходиться проміжна ланка – модель.
Поняття моделі. Первісно моделлю називають деякий допоміжний засіб, об’єкт, який в певній ситуації замінює інший об’єкт. При цьому далеко не одразу була зрозумілою універсальність законів природи, все загальність моделювання, тобто не просто можливість, але й необхідність представляти любі наші знання у вигляді моделей.
Модель є відображення: цільове, абстрактне або реальне, статичне або динамічне, скінченне, спрощене, наближене; таке, що має разом з безумовно-істиним умовно-істиний і хибний зміст, який проявляється і розвивається в процесі його створення і практичного використання.
Модель є системне відображення оригіналу.
Вважалось, що відобразити природу можна лише з допомогою логіки, методів міркувань, спорів, тобто згідно сучасної термінології, мовних моделей. Наступний крок полягав в признанні того, що моделями можуть служити не лише реальні об’єкти, але й абстрактні, ідеальні побудови. Типовим прикладом служать математичні моделі.
В теорії моделей модель означується як результат відображення однієї абстрактної математичної структури на іншу, також абстрактну, або як результат інтерпретації першої моделі в термінах і образах другої. Моделі можуть бути якісно різними, вони утворюють ієрархію, в якій модель більш високого рівня, наприклад теорія, містить моделі нижчих рівнів, скажімо гіпотези, як свої частини, елементи.
Ціль як модель. Модель є не просто образом – замінником оригіналу, а цільовим відображенням. Приклад: колода для різних членів туристичної групи.
Пізнавальні і прагматичні моделі. Пізнавальні є формою організації і представлення знань, з допомогою поєднання нових знань з попередніми. Наблизити модель до реальності.
Прагматичні моделі є засобами управління, засобами організації практичних дій, засобом представлення зразково правильних дій або їх результату, тобто є робочим представленням цілі. Наблизити реальність до моделі.
Пізнавальні моделі відображають існуючі, а прагматичні – не існуючі але бажані і (можливо) здійсненні.
Статичні і динамічні моделі. Для деяких цілейможе знадобитись модель конкретного стану об’єкту, яка називається статичною. У тих же випадках, коли наші цілі пов’язані не з одним станом, а з відмінностями між станами, виникає необхідність у відображені процесу зміни станів. Такі моделі назив. статичними.
Ступінь визначеності: за цією ознакою моделі класифікуються як детерміновані, стохастичні та з невизначеністю.
Умови реалізації властивостей моделей. Для того щоб модель відповідала своєму призначенню, не досить взяти готову модель або створити нову; необхідно щоб існували умови, що забезпечують її функціонування. Приклади: гроші, мистецтво, ідеї, „що обігнали свій час”.
Скінченність моделі. Світ, частиною якого ми є, нескінченний, і не тільки у просторі – часі, але й у своїх зв’язках з іншими об’єктами, і в тому, що до любого числа відношень, в яких ми розглядали даний об’єкт, завжди можна добавити ще одне. І ми самі, як і всі природні об’єкти, також нескінченні. (Р.Вінер; К.Кастанеда). Із невимірної множини властивості об’єкта – моделі вибираються і використовуються лише деякі властивості, подібні до тих, що нас цікавлятьв об’єкті – оригіналі. З іншого боку не всяке поняття відображає дещо осяжне, безпосередньо існуюче, абстракція може бути ієрархічною.
Можна також говорити не тільки про модель чогось реального, але й про модель моделей. І кількість таких сходинок є обмеженою лише тільки практичною необхідністю.
Спрощеність моделей. Сама скінченність моделей робить їх спрощеність невідворотною. В людській практиці спрощеність моделей є допустимою. Інша причина примусової спрощеності моделі є необхідність оперування з нею.
Наближеність моделей. Ми хочемо розділити якісні відмінності між оригіналом і моделлю і такі їх відмінності, які допускають кількісні або хоча б рангові порівняння. Модель подібна до об’єкта оригіналу скінченною кількістю відношень. Приклад: єдиною точною картою країни є сама країна.
Принцип леза Оккама: з двох моделей, що однаково добре описують явище, зазвичай простіша виявляється ближчою до дійсної природи явища, що вивчається. (Г.Сковорода)
Адекватність моделей. Модель, з допомогою якої успішно виконується поставлена ціль, називатимем адекватною. Приклад: модель Птоломея, Коперніка, Ейнштейна. Підбудова моделі з ціллю підвищення адекватності є адаптацією моделі. Залежність міри адекватності від її точності характеризується стійкістю моделі. Моделі є заміщувачами оригіналу завдяки подібності до нього. Існує три види подібності: пряма, що встановлюється шляхом фізичної взаємодії; непряма, що встановлюється через аналогію; умовна, що встановлюється шляхом певних домовленостей. Окрім безумовно істинного, в моделі є ще й те, що правильне за певних умов, а також те, що не стосується оригіналу.
Істинність моделі. Про істинність, правильність або хибність моделі самої по собі говорити немає змісту. В інженерній практиці така ситуація зустрічається частіше, ніж прийнято думати. Такі ситуації висунули перед дослідниками спеціальну проблему – створення моделей, застосовуваність яких зберігається в деякому діапазоні умов. Приклад: в мат статистиці – непараметричні і робастні процедури; в теорії управління – стійкість моделей і регуляризація алгоритмів. Рефлексія рівня істиності – що відомо про те, що не відомо. В кожних конкретних умовах невідомо точно, яке ж фактичне співвідношення істинного і хибного в даній моделі. Відповідь на це питання дає тільки практика.
Однак в любому випадку модель є принципово біднішою оригіналу, це – її фундаментальна властивість. (А.Ейнштейн).
Ізоморфізм – це співвідношення між системами тотожної структури. Між елементами та відношеннями ізоморфних систем існує взаємно – однозначне відображення.
Гомоморфізм – відображення системи, що моделюється, у свідомості дослідника.
Основні теореми подібності. І. У подібних явищах критерії подібності числово одинакові. Критерії подібності – це певні безрозмірні співвідношення фізичних величин системи (координат і параметрів), які в загальному випадку отримуються перемноженням цих величин, піднесених до деяких степенів. Загальний вираз критерію подібності:
ІІ. Повне рівняння стану, що однозначно описує фізичне явище, можна записати:
де 
- фізичні величини системи, які характеризують явище.
ІІІ. Достатньою умовою подібності явищ є рівність визначальних критеріїв подібності, складених із величин, які відповідають умовам однозначності. У.о. називають умови, які характеризують окремі особливості процесу чи явища, що виділяють його з певного класу.
Динаміка моделей. Процес моделювання є структурованим і складається з послідовних етапів. Етапи відрізняються якісно, конкретними цілями і засобами і повинні виконуватись в певній черговості. Приклад: імітаційне моделювання, розробка програмного забезпеченя. Моделювання – це ітераційний процес, підчас якого уявлення про модель постійно поповнюються та корегуються – можливо, аж до зміни первинних уявлень.
Складності алгоритмізації моделювання. В практиці моделювання стало очевидним, що взагалі не існує якогось єдиного, пригодного для всіх випадків алгоритму роботи з моделями. Причини: досвід роботи з однією моделлю не може без змін переноситись на іншу; вимоги до моделі є протирічиві; з самого початку неможливо передбачити всі деталі того, що відбудеться в майбутньому, з любою моделлю. Р. Шеннон: мистецтвом моделювання можуть оволодіти ті, хто володіє оригінальним мисленням... Моделювання є нерозділимим співвідношенням, сплавом науки і мистецтва.
Модель „чорного ящика”. Приведене вище означення моделі нічого неговорить про внутрішню будову системи. Тому її можна зобразити у вигляді непрозорого „ящика”, виділеного із навколишнього середовища. Уже ця максимально проста, модель по-своєму відображає дві важливі властивості системи: цілісність і обособленість від середовища. Також опосередковано говориться про те, що хоча „ящик” і відокремлений від середовища, але не є повністю від неї ізольованим.
Дійсно, система зв’язана із середовищем і з допомогою зв’язків діє на середовище. Такі зв’язки називаються виходами системи. Виходи системи відповідають слову „ціль”. Повинні існувати також можливості використання системи, впливу на неї. Зв’язки, направлені від середовища в систему називають входами. В результаті ми отримали модель, яка називається „чорним ящиком”. Формалізовуючи модель, ми приходимо до задання двох множин: Х та У, вхідних і результовних змінних. Приклади: наручний годинник, автомобіль.
Простота моделі „ч. я.” обманлива. Завжди існує небезпека неповноти складеного переліку входів і виходів як внаслідок того, що важливі з них можуть бути зараховані до несуттєвих, так і в силу невідомості деяких з них в момент побудови моделі.
Знакові моделі і сигнали. Ця загальна схема конкретизується і поглиблюється в ряді конкретних наук: теорія зв’язку, теорія інформації, радіотехніка, теорія управління. В цих науках правила побудови і способи використання сигналів, названі кодуванням і декодуванням
Самі стали предметом досліджень. У призначених для цього моделей є своя специфіка, що дозволяє дати їм спеціальне призначення – знаки – і вимагає спеціальних методів дослідження. Приклади: дорожні знаки, цифри, квантори.
Способи втілення моделей: абстрактні(ідеальні) і матеріальні (реальні).
Абстрактні моделі є ідеальними конструкціями, що побудовані засобами мислення. Залишивши в стороні ірраціональні засоби спілкування, звернем увагу на моделі, створювані мовними засобами. Очевидно, що до абстрактних моделей відносяться мовні конструкції. Вони є свого роду кінцевим продуктом мислення, уже готовим або майже готовим для передачі іншим носіям мови. На практиці ми стикаємось із ситуаціями, коли примітивність природної мови стає недоліком, який необхідно перемогти на постійній основі. Таку основу представляє розробка „професійної” мови. Найбільш яскраво це видно на прикладі мов конкретних наук. Моделі спеціальних наук – більш точні, більш конкретні, вони містять більше інформації. Нові знання акумулюються в нових моделях, и якщо старих мовних засобів для їх побудови не хватає, то виникають ще більш спеціалізовані мови. Математичним моделям властива абсолютна точність, але щоб дійти до їх використання в даній області, необхідно отримати достатню для цього кількість знань. Нематематизованість якоїсь науки є наслідок складності, недостатнього пізнання її предмету і є тимчасовим явищем.
Щоб деяка матеріальна конструкція могла бути відображенням, між оригіналом і моделлю повинно бути встановлено відношення подібності. Перш за все це пряма подібність, встановлена в результаті фізичної взаємодії в процесі створення моделі. Приклади: фотографії, макети, ляльки, протези, шаблони. Другий тип – опосередкований. Приклади: годинник – аналог часу; електромеханічна аналогія; диференціальне рівняння –аналог процесу. Третій тип – умовний, встановлений в результаті угоди. Приклад: гроші, сигнали, креслення, карти.
Математична модель – це наближений опис деякого класу явищ зовнішнього світу, виражений з допомогою математичної символіки. Це метод пізнання а також прогнозування і управління. Процес м.м. поділяють на 4 етапи.
1-й – формулювання законів, що пов’язують осн. об’єкти моделі (системний аналіз). Ця стадія завершується записом в мат. термінах сформульованих якісних представлень зв’язків між об’єктами моделі.
2-й етап – дослідження мат. задач, до яких приводить м.м. Основним пит. тут є розв’язання прямої задачі. На цьому етапі важливу роль мають мат. апарат, необхідний для аналізу моделі і обчислювальна техніка, програмне забезпечення.
3-й етап – вияснення того, чи задовольняє прийнята модель критерію практики.
4-й - послідуючий аналіз моделі в зв’язку з накопленням даних про досліджувані явища і модернізація моделі.
Приклад: модель сонячної сист., кластеризація в економіці і в композитних матеріалах.
MATHCAD.
Програмне забезпечення – сукупність програм і програмних комплексів, з допомогою яких організується автоматичне проходження задач користувачів на ЕОМ.
Першим кроком було створення п.з., що дозволяло програмувати на автокоді. Програма на автокоді фактично представляє собою ту ж послідовність команд ЕОМ, але записаних символьними позначеннями – в мнемонічному виді. Перетворення мнемонічного коду програми в команди машини здійснювали спец. програми – асемблери та макроасемблери. Слідуючим етапом було створення алгоритмічних мов високого рівня: фортран, алгол, алгамс, альфа, кобол, паскаль, С, С++. З’явились електронні таблиці Excel, текстовий редактор Word і бази даних Acces (Microsoft Office), що використовують вбудований BASIC.
Mathcad створювався як інструмент розв’язання широкого класу задач тими, хто не хотів або не вмів возитися з класичними мовами програмування. Розвиваючись із сьомої версії, мова Mathcad стала все більше володіти рисами мови С. Тут нема нічого дивного, оскільки сам Mathcad писався на цій мові.
Mathcad, без сумніву, є потенційним представником тих комп’ютерних інструментів, які зроблять четверту революцію (символьне числення) в обчисленнях. Той, хто має можливість використати програму, навряд чи стане вручну шукати інтеграл, або створювати комп’терні програми для розв’язання рівнянь. Це особливо суттєво в тих ситуаціях, коли математика не є самоціллю. Однак Mathcad не звільняє від необхідності самостійно шукати шляхи рішення конкретної задачі.
Mathcad – це ідеальний математичний інструмент для науковців, які працюють в області техніки або природничих наук а також студентів. Одна із сильних сторін Mathcad – це представлення і ввід математичних символів і виразів у звичній формі. В Mathcad для цього є дві можливості. Більш швидкий варіант полягає в тому, що потрібний символ появляється при натисканні відповідної комбінації клавіш, яку треба запам’ятати. Більш простий (але довший) шлях полягає у використанні панелей.
Робота зMathcad- файлами.
Виконуючи дії на меню File, можна побачити слідуючи команди:
New [Ctrl+N], [F7]. Створює новий документ.
Open [Ctrl+O],[F5]. Відкриває існуючий документ. В нижній частині меню File знаходяться імена чотирьох файлів, які відкривались останніми.
Close [Ctrl+F4]. Закриває біжучий документ.
Save [Ctrl+S], [F6]. Зберігає документ на диску. Якщо збереження проводиться вперше, то відкривається діалогове вікно, в якому необхідно вказати імя збережуваного файлу.
Save As. Зберігає біжучий документ іпід другим іменем. Окрім стандартного формату Mathcad з розширенням MCD існує можливість зберегти файл ще в трьох різних форматах:
- шаблон Mathcad з розширенням МСТ,
- формат Rich Text Format з розширенням RTF, для текстових редакторів,
- формат HTML для WWW.
Page Setup.Параметри сторінки.
Print Preview. Попередній перегляд.
Print. Друк.
Exit. [Alt+F4]. Вихід.
Редагування документів.
Більшість команд меню Edit (Правка) можна використати лише у випадку, коли в документі виділена одна або декілька областей (текстова область, формула, графік, вбудований об’єкт).
Undo [Alt+←]. Відміна.
Cut [Shift+ Del], [Ctrl+X]. Вирізає виділений фрагмент і зберігає його в буфері.
Copy [Ctrl+Enter], [Ctrl+C]. Копіює виділений фрагмент в буфер.
Paste [Shift+Enter], [Ctrl+V]. Копіює ємність буферу в документ.
Paste Speciale. Елементи цього вікна дозволяють вибрати режим вставки ємності буферу обміну в документ.
Object меню Insert (вставка). Створюється новий документ з допомогою іншого джерела, або вставляється готовий документ із файлу цього джерела.
Object Редактується вбудований об’єкт.
Delete [Ctrl+D]. Виділений фрагмент знищується остаточно.
Select all. (Виділити все).
Find. [Ctrl+F5]. (Пошук). Кнопки: Down; Up.
Replace [Shift+F5]. (Заміна). Кнопки: Replace All; Replace; Find Next.
Go topage. (Перейти на сторінку)
Check Spelling. (Перевірка орфографії). Кнопки: Add; Change; Ignore; Change to.
Links. (Зв’язки). Робота з вбудованими файлами, які були вставлені у вигляді посилань в документ командою Object меню Insert.
В меню View команди включення і виключення різних панелей інструментів знаходяться в підменю Toolbars (Панелі інструментів):
Standard (Стандартні). Засобами цієї команди можна задавати або відміняти відображення на екрані панелі інструментів Standard, піктограми якої є: New [F7], [Ctrl+N]; Open [F5], [Ctrl+O]; Save; Print; Print Preview; Check Spelling; Cut; Copy; Paste; Undo [Ctrl+Z]; Redo [Ctrl+Y]; Align Across (Вирівняти області по верхній границі); Align Down (Вирівняти області по лівій границі); Insert Function [Ctrl+F]; Insert Unit; Calculate [F9] (Виконати обчислення заново); Insert Hyperlink (Вставка гіперпосилання на файл в Internet або локальний файл); Insert Component; Resource Center; Help.[F1].
Formatting (Форматування). Якщо ми хочемо швидко змінити параметри шрифту, то виділяємо потрібний фрагмент формули або розміщуємо курсор справа від змінної, що форматується і задаємо параметри шрифту з допомогою елементів панелі форматування. По замовчуванні для змінних (Variables) і констант (Constats) використовується шрифт розміром в 10 пунктів. User1,..., User7 можна перейменовувати і використовувати в своїх цілях.
Панель інструментів Math (Математика) містить кнопки для відображення ряду панелей інструментів.
На панелі Calculator ви знайдете кнопки для задання арифметичних операцій, а також деяких часто використовуваних функцій. Цю панель можна використовувати як калькулятор. Кнопка „:=” призначена для вводу оператора локального присвоєння, що задає певне значення змінної або функції.
Панель Boolean містить кнопки для вводу операторів порівняння і кнопки вводу логічних операторів.
Панель інструментів Evaluation (Обчислення) містить кнопки вводу операторів локального і глобального присвоєння значнь змінних і функцій, стрілку для символьного обчислення змінних і кнопки для самостійного визначення операторів.
Панель Graph містить інструменти для побудови графіків.
Інструменти панелі Matrix призначені для вводу векторів і матриць і для обчислень з ними.
Інструменти панелі Calculus дозволяють окрім диференціювання та інтегрування визначати суми і добутки та границі.
Панель Greek призначена для вводу грецьких букв.
Панель інструментів Programming дозволяє вбудовувати в документ власні функції, які описуються аналогічно до функцій в програмах Паскаль або С.
Інструменти панелі Symbolic призначені для здійснення символьних обчислень.
Меню Insert (Вставка). Команди цього меню дозволяють поміщати в Mathcad – документ графіки, матриці, функції, гіперпосилання, компоненти Вбудовуються об’єкти: Math Region (Математична область), Text Region (Текстова область), Page Break (Розрив сторінки), Object (Об’єкт).
Меню Format (Формат). Містить команди призначені для задання різних параметрів, що визначають зовнішнє представлення чисел, формул, текста, абзаців, колонтитулів і т.д.: Equation, Result, Text, Paragraph, Tabs, Style, Properties, Graph, Color, Background, Highlight, Annotation (Коментарі), Separate Regions (Відділити області), Align Regions (Вирівняти області), Headers/Footers (Колонтитули), Repaginate Now (Перенумерація сторінок).
Меню Math (Математика). В програмі Mathcad існує два режими обчислень: автоматичний Automatic Calculation (по замовчуванню) і ручний. Із обчисленнями в Mathcad – документах пов’язані 4 групи команд.
Calculate [F9]. Призначено для ручнеого поновлення змісту Mathcad – документу.
Calculate Worksheet. (Прорахувати документ). Вибирають у випадку, коли потрібно обновити не лише видиму на екрані ділянку документу, але увесь документ вцілому.
Символьний знак рівності → [Ctrl+] вводиться після виразу, який треба обчислити. Якщо після цього виконати клацання поза областю формули, буде обчислено символьне значення виразу.
Optimization. Mathcad перед числовою оцінкою виразів документу проводить також символьні обчислення і при знаходженні більш компактної форми використовує її. Якщо така компактна форма знайдена, на це вказує маленька зірочка червоного кольору справа від виразу.
Після вибору команди Options (Параметри) меню Math, з’являється діалогове вікно Math Options (Властивості). Воно містить вкладки: Unit System, Calculation, Dimensions, Built – In Variables (Змінні): TOL, ORIGIN, PRNCOLWIDTH, PRNPRECISION.
Меню Symbolics. Відкриваючи його вперше, бачимо більшість елементів меню недоступною: Simplify, Expand, Factor, Collect, Polynomial Coefficients. Необхідно спочатку виділити змінну або вираз.
У підменю Evaluate (Розрахунки): Sybolіcally (Символічні), Floating Point (З плаваючою комою), Complex.
У підменю Variable: Solve, Substitute, Differentiate, Integrate, Expand to Series, Convert to Partial Fraction.
У підменю Matrix: Transpose, Invert, Determinant.
У підменю Transform: Fourier, Inverse Fourier, Laplace, Inverse Laplace, Z, Inverse Z.
Evaluation Style (Стиль обчислень). По замовчуванню результат символьних обчислень відображається під виразом. Такий режим задається опцією Vertically, inserting lines (Вертикально, вставка лінійок).
Меню Window – робота з вікнами. Містить команди для впорядкування взаємного розміщення декількох вікон і дозволяє активізувати одне з вікон. Cascade (Впорядкувати), The Horizontal (Розділити по горизонталі), The Verticale (Розділити по вертикалі).
Допомога Help: Mathcad Help [F1], Resource Center, Tip of the Day.
