Поняття відображення або функції

Вступ

 

 

Математичний аналіз – частина математики, в якій функції і їх узагальнення вивчаються методами границь. Поняття границі тісно пов'язане з поняттям нескінченно малої величини, тому можна також сказати, що математичний аналіз вивчає функції та їх узагальнення методом нескінченно малих.

"Математичний аналіз" є скороченою назвою старої назви цієї частини математики – "Аналіз нескінченно малих". У класичному математичному аналізі об'єктами вивчення (аналізу) є перш за все функції. Розвиток математичного аналізу привів до можливості вивчення його методами більш складних утворень, ніж функція, функціоналів, операторів і т. д.

У природі та техніці зустрічаються зміни, рухи, які є першою ознакою того, що ми називаємо явищем, процесом. Закони явищ природи зазвичай описуються функціями. Звідси об'єктивна важливість математичного аналізу як засобу вивчення функцій.

Математичний аналіз у широкому розумінні цього терміна охоплює дуже велику частину математики. До нього входять диференціальне числення, інтегральне числення, теорія функцій дійсної змінної, теорія функцій комплексної змінної, наближення функцій, теорія диференціальних рівнянь, теорія інтегральних рівнянь, диференціальна геометрія, варіаційне числення, функціональний аналіз і деякі інші математичні науки.

Усе ж термін "математичний аналіз" часто застосовується для найменування лише основ математичного аналізу, які об'єднують у собі теорію дійсного числа, теорію границь, теорію рядів, диференціальне й інтегральне числення і їх безпосередні застосування, такі, як теорія максимумів та мінімумів, теорія неявних функцій, ряди Фур'є, інтеграли Фур'є.

 

 

Елементи теорії множин

 

Поняття множини. Поняття множини є первісним поняттям, тобто таким, якому не дається означення. Можна говорити про множину N усіх натуральних чисел, множину Z усіх цілих чисел, множину Q усіх раціональних чисел і т. д. Творець теорії множин Георг Кантор (1845-1919) розумів множину як зібрання певних та різних об'єктів нашої інтуїції або інтелекту, які сприймаються в якості цілого.

Множина вважається визначеною, якщо про будь-який об'єкт, що розглядається, можна сказати, що він належить або не належить цій множині. Якщо деякий елемент X належить множині A, то пишуть . Якщо елемент X не належить множині A, то це записують так: .

Нехай X – деяка фіксована множина (іноді її називають основною) і P – певна властивість, яку мають деякі елементи . Множина всіх елементів , що належать множині X і мають властивість P, позначається таким чином:

 

або .

 

Наприклад, якщо в значенні основної множини взяти множину Z, то множина є множиною натуральних чисел.

Якщо множина має скінченне число елементів, то її можна задати переліком її елементів, тобто записати .

Множина, яка не містить жодного елемента, називається порожньою і позначається знаком .

 

Дії над множинами. Множина А називається підмножиною множини В, якщо кожний елемент множини А є елементом множини В, тобто якщо . Якщо множина є підмножиною множини В, то пишуть або .

Для будь-якої множини А приймається, що .

Множини А та В називаються рівними, якщо і . Рівність множин позначається так: А=В.

Об'єднанням (сумою) множин А та В називається множина С, яка складається з елементів, кожен із яких належить множині А або множині В. Об'єднання множин позначається так: .

Перерізом (добутком) множин А і В називається множина С, яка складається з елементів, кожен із яких належить як множині А, так і множині . Записується: .

Різницею множин А і В називається множина С, яка складається з усіх тих елементів множини А, які не належать множині В. Різниця множин позначається так: .

Нехай Х − основна множина і . Доповненням до множини А називається множина .

Правила двоїстості. Для будь-яких множин А і В мають місце співвідношення:

 

1. ;

2. .

 

Доведемо перше із співвідношень.

 

і і .

 

Отже, , тобто .

 

Аналогічно доводиться друге співвідношення.

 

Частково впорядковані множини. Нехай М − довільна множина і − деяке бінарне відношення в ній. Це відношення називається частковою впорядкованістю, якщо воно задовольняє умови:

1) рефлексивності: ;

2) транзитивності: якщо і , то ;

3) антисиметричності: якщо і , то .

Часткова впорядкованість може позначатися символом . Множина, в якій задано деяку часткову впорядкованість, називається частково впорядкованою. Запис означає, що елемент а не перевищує b або що він підпорядкований b, передує b, а b −не менше від а йде за а.

У випадку, коли та , користуються символом <, тобто пишуть і говорять, що а менше від b або що а строго підпорядковане b.

Частково впорядкована множина, для будь-яких двох точок а, b якої існує точка c, що йде за ними (), називається напрямленою.

 

Приклади.

1. Множина всіх натуральних чисел частково впорядкована, якщо означає „ b ділиться на a без остачі”.

2. Множина всіх підмножин деякої фіксованої множини частково впорядкована за включенням, якщо означає, що .

3. Упорядкованою парою (a, b) є множина .

Нехай a, b − елементи частково впорядкованої множини. Може виявитися, що жодне із співвідношень і не має місця. У цьому випадку елементи a, b називаються непорівнянними. Тобто відношення порядку може бути визначеним лише для деяких пар елементів, тому й говориться про часткову впорядкованість. Якщо ж в частково впорядкованій множині M непорівняних елементів немає, то множина M називається впорядкованою (лінійно впорядкованою, цілком упорядкованою).

Декартовим добутком множин називається множина впорядкованих -ок:

 

.

 

Застосовується позначення .

 

ЛЕКЦІЯ 2

 

1. Поняття відображення або функції.

2. Потужність множин.

3. Зчисленні множини.

4. Математична індукція.

 

 

Поняття відображення або функції

 

 

Нехай X і Y дві множини. Відображенням f множини X у множину Y називається правило, яке кожному елементу ставить у відповідність один і тільки один елемент .

Замість слова "відображення" можна вживати "функція", "оператор", "відповідність".

Записи означають, що f є відображенням множини X у множину Y.

Для позначення функції вживаються й інші букви, наприклад .

Елемент y, який відображення f ставить у відповідність елементу , називається образом елемента при відображенні f або значенням відображення f у точці і позначається символом . Множина X називається областю визначення відображення f і позначається . Множина називається множиною значень відображення f.

Нехай . Образом множини A при відображенні f називається множина . Прообразом множини при відображенні називається множина .

Графіком функції називається множина .

Якщо і , то функція , яка визначається формулами називається складеною функцією, або суперпозицією функцій f і g.

Приклади.

Відображення називається відображенням множини Х на множину або сур'єкцією, якщо .

Відображення називається взаємооднозначним відображенням множини X у множину Y або ін'єкцією, якщо

 

 

Відображення , яке є сур'єкцією та ін'єкцією, називається бієкцією. У цьому випадку говорять, що здійснює взаємно однозначну відповідність між множинами і .

Якщо − бієкція, то Функція називається оберненою до бієкції , якщо та .

Відображення називається послідовністю елементів із . Послідовність позначається так: де − -ний член послідовності.

 

 

Потужність множин

 

 

Множина, яка складається із скінченного числа елементів, називається скінченною. Для скінченної множини число її елементів позначається . Скінченні множини можна порівнювати за кількістю їх елементів. Виникає питання, як можна порівнювати нескінченні множини? Г. Кантор побудував теорію, яка містить відповідь на поставлене питання. Вихідним пунктом цієї теорії є поняття потужності множини.

Множини і називаються рівнопотужними (мають однакову потужність), якщо існує бієкція . Рівнопотужні множини позначають так: A ~ B.

Зчисленні множини

 

Множина називається зчисленною, якщо A ~ N. У цьому випадку говорять, що елементи множини можна занумерувати.

Мають місце наступні твердження:

1. Нескінченна підмножина зчисленної множини зчисленна.

2. Нескінченна множина містить зчисленну підмножину.

3. Об'єднання зчисленної множини зчисленних множин є зчисленною множиною.

4. Декартів добуток двох зчисленних множин зчисленний.

5. Існують незчисленні множини.

 

Доведення першого і другого твердження досить прості. Їх пропонується виконати самостійно. Спинимось на доведенні твердження 3.

Нехай - зчисленні множини. Тоді для кожного .

Елементи об'єднання цих множин можна подати у вигляді таблиці

 

… …

… …

… …

…………………………………………

 

і занумерувати, наприклад у порядку, вказаному стрілками. Цим саме буде встановлена бієкція . Отже, .

Аналогічно доводиться твердження 4.

Нехай . Тоді декартів добуток складається із пар, які можна розташувати в такому порядку

 

 

і занумерувати так, як зроблено в попередньому випадку.

Для доведення твердження 5 застосуємо діагональний метод (діагональну процедуру) Кантора.

Нехай − множина всіх можливих нескінченних ланцюгів, що складаються з двох символів, наприклад 0 і 1, вигляду

Покажемо, що множина незчисленна. Припустимо, що елементи множини занумеровані, тобто що множина зчисленна. Нехай

 

де кожне дорівнює 0 або 1. Утворимо елемент , поклавши , і кожне відповідно дорівнює 0 або 1. Очевидно, що , але не збігається з жодним із занумерованих елементів . А це суперечить тому, що всі елементи множини можна занумерувати.

 

Математична індукція

 

Математична індукція - це метод доведення математичних тверджень, який полягає у наступному: твердження , яке залежить від натурального параметра , вважається доведеним, якщо доведено і із припущення, що справедливе , доведено справедливість .

Доведення твердження називається першим кроком індукції (базисом індукції), а доведення за припущення справедливості називається індуктивним переходом. При цьому називається параметром індукції, а припущення при доведенні називається індуктивним припущенням.

Нехай – зчисленна множина і для n Î N

 

 

є множина впорядкованих n -членних ланцюгів. Тоді за твердженням 4 і методом (принципом) математичної індукції є зчисленною множиною .

ЛЕКЦІЯ 3

 

1. Дійсні числа.

2. Деякі властивості дійсних чисел.

 

 

Дійсні числа

 

Уведемо аксіоматичне означення дійсних чисел.Із шкільного курсу математики відомо, що множина дійсних чисел складається із множини раціональних та ірраціональних чисел. Раціональним називається число, яке можна подати у вигляді звичайного дробу , де p, q − цілі числа, причому . Ірраціональним називається число, яке не є раціональним. Будь-яке раціональне число є або цілим, або скінченним чи нескінченним періодичним десятковим дробом. Ірраціональні числа – це нескінченні періодичні десяткові дроби. Виявлення ірраціональних чисел пов'язане з установленням у школі Піфагора (570-496 р. до н. е.) несумірності діагоналі квадрата і його сторони, тобто з установленням того факту, що довжина діагоналі квадрата не може бути виражена раціональним числом, якщо в значенні одиниці вимірювання взяти довжину сторони квадрата.

Ми дамо аксіоматичне означення множини дійсних чисел.

Множиною дійсних чисел називається множина елементів, для яких виконуються наступні аксіоми.