Комплексные числа

 

5.1 Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах

Решение.

так как абсцисса отрицательна, а ордината положительна, то точка лежит во второй четверти.

, ,

, т.е. .

Поэтому .

 

5.2. Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах

Решение.

,

, ,

т.е. и .

 

5.3. Выполнить следующие операции над комплексными числами.

Решение.

1)

2)

3)

 

5.4. Найти .

Решение.

Запишем сначала число в тригонометрической форме:

; , .

По формуле Муавра имеем

 

5.5 Найти частное .

Решение: .

 

5.6. Найти .

Решение. Запишем подкоренное выражение в тригонометрической форме .

Откуда получаем три значения корня

при ,

при ,

при .

На комплексной плоскости найденные значения корня представляют равноотстоящие друг от друга точки , , , расположенные на окружности радиуса .

 

5.7. Изобразить на рисунке множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:

Решение:

1) Запишем в алгебраической форме , тогда . Найдем . Тогда

(возведем в квадрат),

.

- окружность с центром и радиусом 2.

Неравенство задает множество точек, лежащих за пределами окружности.

- окружность с центром и радиусом 4. Неравенство задает множество точек, лежащих внутри окружности.

2) , т.е. получаем неравенства .

Изобразим полученные множества точек.

Решением является пересечение заштрихованных областей.

 

5.8. Найти все корни уравнения .

Решение. .

.

.

 

5.9. Доказать, что если число является чисто мнимым, то .

Решение. По условию , где - действительное число. Тогда

, ,

 

5.10. Решите уравнение .

Решение: , . Тогда получим уравнение

Из определения равенства комплексных чисел следует

, , , .

Следовательно, .