Абстрактная алгебра

 

4.1. Бинарная операция заданана множестве . Определить ее свойства, если .

Решение.

Проверим коммутативность. Для этого следует убедиться, что для всех , R выполняется равенство .

Поскольку , а , то условие коммутативности примет вид: , что равносильно тому, что .

Ясно, что это равенство выполняется не всегда. Следовательно, заданная операция некоммутативна.

Проверим теперь ассоциативность операции, то есть выясним, при каких x, y, z имеет место равенство .

Точнее, нас интересует только один факт: при всех ли значениях переменных это равенство справедливо. Преобразуем выражения:

;

.

Очевидно, что полученные выражения не всегда дают равные значения. Приведем контрпример.

Пусть , , . Тогда:

;

.

Следовательно, ассоциативность не выполняется.

 

4.2 Задано отображение на множестве . Является ли оно бинарной операцией, если ?

Решение.

Пусть . Поскольку арифметические действия умножения, сложения и вычитания однозначно определены для любых действительных чисел, то ясно, что определено однозначно и . Покажем, что . Предположим, что , т.е. . Тогда, упростив, получаем . Получаем противоречие, так как . Полученное противоречие показывает, что . Следовательно, , и правило * есть бинарная операция.

 

4.3. На множестве действительных чисел определена бинарная операция (*) следующим образом: . Найти корень уравнения .

Решение.

Имеем:

,

,

.

4.4. Примеры операций над множествами.

Решение.

1) Пусть Тогда

2) Пусть Тогда

3) Пусть Тогда

4) Пусть

Тогда

4.5 Найти образ и ядро оператора, заданного матрицей A = .

Решение.

Область значений оператора - образ-– это множество всех векторов

.

Ядро линейного оператора – это множество всех векторов, которые А отображает в нуль-вектор, т.е. решение :

.

4.6. Найти матрицу и образ оператора А, действующего в R₃ следующим образом:

.

Решение:

Матрица оператора имеет вид:

.

Образ оператора