Прямая на плоскости

3.1 Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Решение.

Воспользуемся общим уравнением прямой . Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А.

Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1.

Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

 

3.2 Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см².

Решение.

Уравнение прямой имеет вид: , a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 не подходит по условию задачи.

Итого: или х + у – 4 = 0.

 

3.3 Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, -3) и начало координат.

Решение.

Уравнение прямой имеет вид: , где х₁ = у₁ = 0; x₂ = -2; y₂ = -3.

 

3.4 Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

Решение. Угол между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами , определяется по формуле: .

k₁ = -3; k₂ = 2 tgj = ; j = p/4.

 

3.5 Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Решение.

Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k = . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

 

Кривые 2 порядка.

 

3.6 Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде 2x² + 2y² – 8x + 5y – 4 = 0.

Решение. Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к каноническому виду. Для этого выделим полные квадраты:

x² + y² – 4x + 2,5y – 2 = 0

x² – 4x + 4 –4 + y² + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² = 121/16

Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4.

 

3.7 Составить уравнение эллипса, если его фокусы F₁(0; 0), F₂(1; 1), большая ось равна 2.

Решение. Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами:

2c = , таким образом, a² – b² = c² = ½

по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b =

Итого: .

 

3.8 Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением

Решение. Находим фокусное расстояние c² = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы: c² = a² + b² = 16, e = c/a = 2; c = 2a; c² = 4a²; a² = 4;

b² = 16 – 4 = 12.

Итого: - искомое уравнение гиперболы.

 

3.9 На параболе у² = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

Решение. Из уравнения параболы получаем, что р = 4.

r = x + p/2 = 4; следовательно:

x = 2; y² = 16; y = ±4. Искомые точки: M₁(2; 4), M₂(2; -4).

 

3.10. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка

.

Решение.

Матрица квадратичной формы имеет вид: .

Найдем ее собственные числа и собственные векторы. Составим характеристическое уравнение: , .

Для координат собственного вектора , соответствующего λ₁, получим с учетом нормировки: , откуда = . Аналогично найдем , = .

Составим матрицу перехода к новому базису, столбцами которой будут координаты собственных векторов: .

Тогда .

Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим его вид в новой системе координат: . Заметим, что коэффициентами при x² и y² являются λ₁ и λ₂.

Преобразуем полученное уравнение:

,

.

Зададим параллельный перенос формулами: .

Получим уравнение: , а после деления на 8: - каноническое уравнение гиперболы.

 

3.11. Определить тип кривой, заданной уравнением , ее параметры и сделать рисунок.

Решение.

Сгруппируем переменные: .

Дополним выражения, стоящие в скобках, до полного квадрата: ,

Получим:

Уравнение определяет гиперболу с центром в точке и полуосями . Оси данной гиперболы будут лежать на прямых .

Определим параметр :

.

Тогда эксцентриситет будет равен: .

Асимптотами гиперболы будут прямые , или, после очевидных преобразований .

Директрисами гиперболы будут прямые , или, что то же самое, прямые .

3.12. Найти координаты точки М(-4;2) в новой системе координат, полученной поворотом осей на 30° и переносом начала координат в точку А(6;-2).

Решение.

Используем формулы перехода

.

У нас

.

Решаем систему, находим , т.е. .

 

Прямая и плоскость в пространстве.

 

3.13 Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость

Решение.

Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:

A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0.

 

3.14 Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2 z – 3 = 0.

Решение. Искомое уравнение плоскости имеет вид: A x + B y + C z + D = 0, вектор нормали к этой плоскости (A, B, C). Вектор (1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой, имеет вектор нормали (1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то

Таким образом, вектор нормали (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 11×2 + 7×1 - 2×4 + D = 0; D = -21.

Итого, получаем уравнение плоскости: 11 x - 7 y – 2 z – 21 = 0.

 

3.15 Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде:

Решение.

Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией пересечения указанных выше плоскостей, примем z = 0. Тогда:

;

2x – 9x – 7 = 0;

x = -1; y = 3;

Получаем: A(-1; 3; 0).

Направляющий вектор прямой: .

Итого:

 

3.16 Даны координаты вершин пирамиды А₁(1; 0; 3), A₂(2; -1; 3), A₃(2; 1; 1), A₄(1; 2; 5).

1. Найти длину ребра А₁А₂.

Решение.

2. Найти угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄.

Решение.

3. Найти угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃.

Решение. Сначала найдем вектор нормали к грани А₁А₂А₃ как векторное произведение векторов и .

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Найдем угол между вектором нормали и вектором .

-4 – 4 = -8.

Искомый угол g между вектором и плоскостью будет равен g = 90⁰ - b.

4. Найти уравнение плоскости А₁А₂А₃.

Решение. Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0.