Поверхности 2 порядка

3.17. Определить вид и параметры поверхности второго порядка, заданной уравнением

Решение. Преобразуем это уравнение, выделив в левой части полные квадраты:

Введем новые координаты по формулам:

(I)

Тогда уравнение примет вид

Полученное уравнение определяет эллипсоид, для которого

Центр эллипсоида находится в точке В новой системе

Координат центром является точка с координатами Из этих равенств и формул (I) находим Т. е. координаты точки

 

3.18. Определить вид и параметры поверхности

Решение. Преобразуем это уравнение:

Переходя к новым координатам по формулам Получаем

Или

Это уравнение определяет однополостный гиперболоид, для которого С центром в точке

 

3.19. Доказать, что уравнение Определяет гиперболический параболоид.

Решение. Введем новые координаты по формулам Тогда Уравнение примет вид

Полученное уравнение является уравнением вида x²/a²-y²/b²=2z, для которого , ; оно определяет гиперболический параболоид.

 

3.20 Приведите уравнение поверхности

к каноническому виду.

Решение. Квадратичная форма имеет вид

Выписываем ее матрицу

.

Находим ее собственные числа. Для этого запишем характеристическое уравнение

.

После вычисления определителя получим .

Подбором находим один корень . Преобразуем уравнение, выделяя множитель

или .

Находим два других корня характеристического уравнения и .

Находим собственные векторы. Для собственного числа для координат собственного вектора получим систему уравнений

Решая ее находим, что фундаментальная система решений содержит только одно решение, и в качестве собственного вектора можно взять .

Для собственного числа находим собственный вектор .

Для собственного числа находим собственный вектор .

Легко проверить, что , то есть собственные векторы попарно ортогональны. Их длины равны соответственно . Поэтому векторы нового ортонормированного базиса будут иметь координаты

, ,

Матрица перехода имеет вид

.

Старые координаты связаны с новыми уравнением , то есть

,

Подставим эти выражения в исходное уравнение. Квадратичная форма примет вид, в котором произведения переменных будут отсутствовать, а коэффициентами при квадратах будут служить собственные числа

Приводим подобные члены

Выделим полные квадраты

Выполняем параллельный перенос осей координат

Новое начало системы координат О₁ имеет координаты

В исходной системе координат точка О₁ (подставляем в формулы замены) имеет координаты

Получили уравнение однополостного гиперболоида.