2x + 3y – 4z + 1 = С,
описывающим семейство параллельных плоскостей:
2x + 3y – 4z + С1 = 0 (С1 = 1 – С).
2. Найти поверхности уровня сферически симметричного поля:
Решение. Очевидно, что все сферы с центром в начале координат являются поверхностями уровня (при r=const и u=const). Для нахождения не просто поверхностей, на которых u=const, а всего множества точек с заданным значением поля, нужно решить уравнение cos r = C (–1 £ C £1).
Имеем: r = ± arccosC+2pn (n=0, ±1, ±2,…). Отбрасывая отрицательные значения r, найдем, что множество точек, для которых значение поля равно С, состоит из совокупности сфер радиусов arc cos c, arccos c + 2pn, -arccos c + 2pn, где n – целое число. Центры всех этих сфер совпадают с началом координат.
3. Найти градиент скалярных полей:
а) u(P)=x; б) u(P)=y; в) u(P)=z;
Решение. Применим формулу (1):
а) 
.
6. Найти градиент скалярного поля 
в точке М(2; 1).
Решение. По формуле (1): 
. Вычислим частные производные 
в указанной точке: 
тогда: 
.
7. Найти 
Решение. Пусть 
; тогда
c учетом того, что 
получим 
.
8. Найти векторные линии поля 
.
Решение. Дифференциальные уравнения векторных линий в данном случае имеют вид:
Интегрируя уравнение 
, получимln |x|+ ln |y|= ln |c1|, или xy=c1. Решение уравнения 
приводит к результату 
. Следовательно, векторными линиями поля являются линии пересечения гиперболических цилиндров с параболическими:
9. Найти линии тока плоского потока жидкости, характеризуемого вектором скорости 
.
Решение. Интегрируя дифференциальное уравнение векторных линий в данном случае 
, получим 
. Это эллипсы с осями, параллельными осям координат, и с центром в точке (1, 0).
