Правило Лопиталя

Отношение не определено при , следовательно, можно найти . Вычисление таких пределов носит название «раскрытие неопределенностей».

Теорема. Пусть и непрерывны на и дифференцируемы внутри него, причем внутри отрезка и . Следовательно, если существует , то существует , причем

.

Доказательство. на , из теоремы Коши

, ,

но по условию

.

Следовательно,

.

Если и , , , то .

.

Замечание 1. Теорема справедлива, если и не определены при , то

, .

Доопределяем функции и в точке так, чтобы они стали непрерывными.

, ,

так как не зависит от определенности в точке .

2. Если и производные удовлетворяют условию теоремы Лопиталя, то

.

3. Если , но , то теорема может применяться к обратному отношению

при при .

4. Правило Лопиталя используется, если , полагаем, что , , тогда

.

Можно доказать аналогичную теорему, если , .

Встречают неопределенности:

1) , ;

2) , ;

3) , ;

4) , ;

5) .

, , приводятся к и в результате логарифмирования.

Пример 1. Вычислить .

Решение.

.

Пример 2. Вычислить .

Решение.

;

.