Условия возрастания и убывания функции

Функция , определенная на сегменте (или интервале), называется возрастающей на этом сегменте (интервале), если из неравенства

, (),

следует, что

.

, ,

и имеют одинаковые знаки, следовательно, .

Функция , определенная на сегменте (или интервале ), называется убываю щей на этом сегменте (интервале), если из неравенства

, (),

следует, что

.

, ,

и имеют разные знаки, следовательно, .

Теорема 1.1. Если , имеющая производную на , возрастает, то (не отрицательна) на .

1.2. Если непрерывна и дифференцируема в , причем , , то возрастает на .

Доказательство.

1) возрастает на , придадим приращение и рассмотрим

. (1)

Так как возрастает, то при и при . Но формула (1) > 0, следовательно,

,

то есть , что и требовалось доказать.

2) Пусть при любом . Рассмотрим и . по теореме Лагранжа о конечных приращениях.

, .

Так как , то , – возрастает.

Теорема 2.1. Если убывает на , то .

2.2. Если в , то убывает на отрезке ( непрерывна и дифференцируема).

Замечание. Если на возрастает, то касательная к в любой точке на этом отрезке образует с острый угол или в отдельных случаях горизонталь:

, .

Если убывает, то угол тупой (или в отдельных точках касательная параллельна оси ): .

Функция только возрастающая или только убывающая называется монотонно возрастающей или монотонно убывающей.

Пример. Определить интервалы монотонности .

Решение.

,

, ,

и – возрастает;

, – убывает (рис. 8).

Рисунок 8 – График функции