Асимптоты кривых

При исследовании функции важно установить форму ее графика при неограниченном удалении точек графика от начала координат, как говорят, при удалении его переменной точки в бесконечность. Иногда график приближается к некоторой прямой.

Асимптотой графика функции называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от переменной точки на графике до прямой стремится к нулю, при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат.

1. Асимптоты параллельны оси (вертикальные). Пусть при неограниченно возрастает по абсолютной величине, то есть . Следовательно, является асимптотой. Очевидно, обратное, если является асимптотой, то , то есть для нахождения вертикальной асимптоты надо найти точки, где функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв) (рис. 18).

Рисунок 18 –

Асимптота имеет уравнение

.

Пример. Найти вертикальные асимптоты функции .

Решение. , следовательно, – уравнение вертикальной асимптоты.

2. Асимптоты, не параллельные оси (наклонные). Пусть график функции имеет асимптоту, не параллельную оси . Следовательно, уравнение ее

(частный случай – горизонтальная асимптота).

Для определения и поступим следующим образом (рис. 19).

Рисунок 19 –

Опустим из точки перпендикуляр на асимптоту. Из определения асимптот следует, что при ,

.

Из треугольника имеем , так как , то одновременно с , то есть .

Так как , то .

– бесконечно малая величина.

,

, ,

,

.

Если хотя бы один из пределов не существует, то асимптоты не имеет.

Аналогично при .