Выпуклость функции, точки перегиба

График дифференцируемой функции называется выпуклом в интервале , если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале (рис. 14).

Рисунок 14 –

График дифференцируемой функции называется вогнутым в интервале , если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале (рис. 15).

Рисунок 15 –

График функции в одних интервалах может быть выпуклым, а в других – вогнутым.

Теорема (достаточный признак выпуклости или вогнутости). Пусть имеет во всех точках . Если во всех точках , то график функции выпуклый, если же , вогнутый.

Доказательство. Допустим , докажем, что график будет выпуклым. Возьмем на графике точку и проведем через касательную (рис. 16).

Рисунок 16 –

Для доказательства мы должны установить, что график в расположен ниже касательной, то есть для любого , не равного , принадлежащего ,

.

Уравнение касательной

.

Разность ординат касательной и графика

,

.

преобразуем по формуле Лагранжа

, .

.

, .

,

, (либо < 0),

.

на , следовательно, , .

Аналогично, для .

Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Пусть в точке непрерывна.

Теорема (достаточный признак существования точки перегиба). Если меняет свой знак при переходе через , то в точке с абсциссой график функции имеет точку перегиба.

Доказательство. Пусть при , при .

В этом случае, слева выпуклый, справа вогнутый, то есть точка отделяет интервал выпуклости от вогнутости, точка (, ) является точкой перегиба (рис. 17).

Рисунок 17 –

В точке производная либо непрерывна, либо разрывна, в случае непрерывности , так как по условию теоремы при переходе меняет знак. Поэтому точку перегиба следует искать только среди точек, где .