Обычно пользуются соотношением, написанным в виде

P (g₁ ⁿS < s < g₂ ⁿS) = a. (41)

При выбранном значенииa соответствующие значения g₁и g₂ находятся из табл. IV.

Приведемдва примера пользования табл. IV.

1. Средняя квадратическая погрешность, определенная из 5 измерений, равна 2. Нужно вычислить доверительный интервал для s с надежностью 0.95. Из табл. IV для n = 5 иa = 0.95 имеем g₁ = 0.6 и g₂ = 2.9.

Для s можем написать выполняемое с вероятностью 0.95 неравенство:

0.6´2 < s < 2.9´2 или 1.2 < s < 5.7.

Мы видим, что границы, в которых лежит s, очень широки и асимметричны (интервал от 2 до 1.2 почти в пять раз меньше ин­тервала от 2 до 5.7).

2. При 40 измерениях g₁ = 0.8, g₂ = 1.3 и получаем для s неравенство

1.6 < s < 2.6.

Интервал этот значительно более узкий и почти симметричный.

Если пользоваться при n = 40 формулой (38), то

⁴⁰ S _s = s/[2×(n – 1]^1/2 = 2/78^1/2» 2.

Доверительной вероятности 0.95 соответствует погрешность s_s, и для s  можно с вероятностью 0.95 написать: 1.55 < s < 2.45.

Как видим, в этом случае оценки, сделанные по строгим и при­ближенным формулам, практически не различаются между собой. Легко показать, что при 5 или 10 измерениях это различие бу­дет весьма значительным.

Положим, что есть два ряда измерений одной и той же величи­ны: один ряд содержит n _1, другой – n ₂ измерений. Для этих рядов получены дисперсии ^{n 1} S ₁² и ^{n 2} S ₂².

Обозначения выберем так, чтобы S ₁² было больше S ₂². Определим величину J следую­щим образом:

J = [(n ₂ – 3)/(n ₂ – 1)]´[ ^{n 1} S ₁²/ ^{n 2} S ₂²]. (42)

Можно показать, что

s_J = [2×(n ₁ + n ₂ – 4)/(n ₁ – 1)(n ₂ – 5)]^1/2.(43)

Положим

R = |J – 1|/s_J.

Это число характеризует, существенно или несущественно различают­ся между собой выборочные дисперсии S ₁² и S ₂². Если R > 3, то расхождение между S ₁ и S ₂ существенно. Если R < 3, то – несущественно. Такой критерий, предложенный В.И. Романовским [15] и носящий его имя, соответствует уровню значимости 0.01. Другой критерий – критерий Фишера (см., например, [l8] позволя­ет с помощью специальных таблиц сличать дисперсии при разных уровнях значимости. В практической работе можно рекомендовать более простой критерий Романовского. В качестве примера приве­дем сопоставление результатов определения содержания углерода в ряде проб одного и того же соединения [11].

Было выполнено две серии измерений разными лаборантами: в одной серии сделано 20 определений, в другой – 13. Результаты сведены в табл.5.

Таблица 5. Сравнение результатов анализа

Номер измерения	Содержание C, %	Номер измерения	Содержание C, %
Серия 1	Серия 2	Серия 1	Серия 2
	4.40	4.42		4.66	4.57
	4.66	4.47		4.53	4.58
	4.42	4.70		4.90	4.66
	4.59	4.72		4.50
	4.55	4.53		4.66
	4.45	4.55		4.80
	4.55	4.60		4.36
	4.39	4.64		4.75
	4.75	4.29		4.28
	4.72	4.52		4.45

Отсюда S ₁² /S ₂² = 2.12, п ₁ = 20, n ₂ = 13, J = 1.77, s_J = 0.62, R = 1.24 < 3.

Следовательно, разницу в точности анализов двух лаборантов нельзя считать значимой.

 

9. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Пусть для двух рядов измерений одной и той же величины полу­чены значения < x >₁ и < x >₂. По прежнему полагаем, что < x >₁ определе­но из n ₁ а < x >₂ из n ₂ измерений. В каком случаеможно счи­тать расхождение между < x >₁ и < x >₂ значимым, в каких – случайным?

Иначе говоря, следует установить, насколько значимо |< x >₁ – < x >₂| отлично от нуля.

Дисперсии S ₁² и S ₂² величин x _{1 i} и x _{2 k} равнысоответственно

^{n 1} S ² = _i S ^{п 1}(< x >₁ – x _{1 i} )²/(n ₁ - 1) и ^{n 2} S ² = _i S ^{п 2}(< x >₂ – x _{2 k} )²/(n ₂ – 1) (44)

Дисперсия S ² разности (< x >₁ – < x >₂) будет

S ² = [(n ₁ – 1) S ₁² + (n ₂ – 1) S ₂²]/[(n ₁ – 1) + (n ₂ – 1)].

Можно показать, что величина

t = [(< x >₁ – < x >₂)/ S ]×[ n ₁ n ₂/(n ₁ + n ₂)]^1/2 (45)

– это тот же коэффициент Стьюдента, который используется для определе­ния доверительного интервала при небольшом числе изме­рений.

Определим, значимо ли расхождение результатов двух серий анализов, приведенных в табл.5.

Из нее следует

< x >₁ = 4.5655, < x >₂ = 4.5577, <x>₁ – < x >₂ = 0.008.

²⁰ S ² = 0.003, ¹³ S ² = 0.014, S ² = (0.003´19 + 0.014´13)/31 = 0.008.