III. Нахождение интерполирующих кривых

 

 

1. ЗАДАЧА ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Очень часто исследуемая величина меняется с изменением усло­вий опыта, а задача измерений состоит в нахождении функциональ­ной зависимости, которая наилучшим образом описывает закон из­менения интересующей нас величины,

Примером таких измерений является исследование зависимости сопротивле­ния провода от его температуры, плотности газа от дав­ления, вязкости жидкости от температуры и т.п. В результате изме­рений получаем несколько значений измеряемой величины,

Положим, что мы измеряем некоторую величину у, зависящую только от величины x. Для каждого значения x_i проводим ряд измерений и получаем соответствующие значения < y > _i для которых устанавливаем доверительные интервалы D y_i. Если значения x_i не могут быть заданы точно, а также измеряются с некоторой по­грешностью, то и для них известны средние значения < x > _i, и соот­ветствующие доверительные интервалы D xi. Все < y > _i и < x > _i могут рассматриваться как координаты точек на плоскости, что дает воз­можность представить графи­чески совокупность наших измерений в виде графика рис.15, а.

Отрезки, отложенные у каждой точки, означают вели­чину довери­тельных интер­валов, соответствующих измеренным средним значе­ниям < x > _i и < y > _i. Обычно откладывают значение довери­тельного ин­тервала для доверительной вероятности 0.7 или 0.95. Значение выбранной доверительной вероятности (одно и то же для всех точек данного графика) следует указать. Если значения одной из коорди­нат, скажем x_i, известны практически точно, то на графике по­казывают только величину доверительного интервала для координа­ты y_i, и он будет выглядеть, как на рис.15, б. (Разумеется доверительные интервалы в разных точках могут оказаться раз­ными по величине, как показано на рисунке). Диаграммы рис.15 позволяют установить с некоторой степенью вероятности ту функцио­нальную зависимость, которой связаны величины y = f (x). Однако, как и все задачи, в которые входят зависимости между случайны­ми величинами, выбор функции у = f (x) может быть сделан с той или иной степенью надежности. Более того, существует бес­численное множество функций, как угодно хорошо согласующихся с диаграммой рис.15,

Лучше всего, с точки зрения математичес­кого согласования, выбрать в качестве такой функции ломаную линию (x ₁, y ₁), (x ₂, y ₂),..., (x_n, y_n), как это показано на рис.15, б пунктиром. Однако очевидно, что такая линия не дает ничего нового по сравнению с имеющейся диаграммой, и обычно за­дача ставится так, что нужно на основании каких–то физических за­конов подобрать плавную кривую, хорошо описывающую полученные экспериментальные результаты, В гаком виде задача тоже остается достаточно неопределенной, но во всяком случае имеются пути к ее аналитическому решению. Основным путем этого решения явля­ется метод наименьших квадратов, хотя он, конечно, не единственный,

Применение этого метода мы иллюстрируем конкретными при­мерами.

 

2. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Если из теоретических соображений можно считать, что между x и y существует линейная зависимость, то для интерполяции сле­дует искать не какую–то функцию, лучше всего удовлетворяющую данным точкам, а прямую линию, менее всего уклоняющуюся от них, Уравнение искомой прямой может быть записано в виде

y = ax + b. (66)

Коэффициенты уравнения a и b надлежит выбрать наилучшим об­разом, Для нахождения по способу наименьших квадратов уравнения искомой прямой поступим следующим образом: проведем ординаты точек x_i, y_i доих пересечения с искомой прямой (рис.16). Значе­ние этих ординат будет (ax_i + b). Расстояние по ординате от точки xi, yi до прямой равно (ax_i + b – y_i). Положим, что прямая будет наилучшей, если сумма квадратов всех расстояний (ax_i + b – y_i) имеет наименьшее значение. Минимум этой сум­мы ищется по правилам дифференциаль­ного исчисления,

Для нахождения коэффициентов a и b искомой прямой мы должны, таким образом, найти минимум суммы ₁S ⁿ (ax_i + b – y_i).

Поэтому, как обычно, приравниваем нулю производные этой суммы по параметрам a и b. Получаем

d [₁S ⁿ (ax_i + b – y_i)²]/ da = 0,

d [₁S ⁿ (ax_i + b – y_i)²]/ db = 0. (67)

Отсюда легко выводим

a ×₁S ⁿx_i + n × b – ₁S ⁿy_i = 0,

b ×₁S ⁿx_i + a ×S₁S ⁿx_i + a ×₁S ⁿx_i ² – ₁S ⁿx_iy_i = 0. (68)

Такая система уравнений называется нормальной и легко решается относительно параметров a и b:

a = [ n ×₁S ⁿx_iy_i – ₁S ⁿx_{i 1}S ⁿy_i ]/[ n ×₁S ⁿx_i ² – (₁S ⁿx_i)²], (69)

b = [₁S ⁿx_i ²₁S ⁿy_i – ₁S ⁿx_{i 1}S ⁿx_iy_i ]/[ n ×₁S ⁿx_i ² – (₁S ⁿx_i)²]. (70)

n – число наблюдений.

Суммирование производится по всем точкам. Теория дает возможность определить также дисперсию уклонения точек от прямой и дисперсию коэффициентов a и b.

Если S ₀² – дисперсия точек, S_a ² и S_b ² – дисперсия коэффициентов a и b. тогда

 

S ₀² = ₁S ⁿy_i ² / (n – 2) – (₁S ⁿy_i)² / n ×(n – 2) – (n ×₁S ⁿx_iy_i – ₁S ⁿx_{i 1}S ⁿy_i)² / n ×(n – 2)×[ n ×₁S ⁿx_i ² – (₁S ⁿx_i)²], (71)

S_a ² = n×S ₀² / [ n ×₁S ⁿx_i ² – (₁S ⁿx_i)²], (72)

S_b ² = S ₀²×₁S ⁿx_i ² / [ n ×₁S ⁿx_i ² – (₁S ⁿx_i)²], (73)

Если разделить числители и знаменатели в этих формулах на n ², то после несложных преобразований можно взамен сумм выразить все коэффициенты через средние значения входящих в них величин. Тогда получим

a = [(< xy >) – (< x >)×(< y >)] / [< x ²) – < x >²], (69а)

b = [< x ²>×< y > – < x >×(< xy >)] / [< x ²> – < x >²], (70а)

S ₀² = [ n /(n – 1)]× { < y ²> – < y >² – [< xy > - < x >< y >]² / [< x ²) – < x >²] }, (71а)

S_a ² = S ₀² / n[< x ²) – < x >²], (72а)

S_b ² = S ₀×< x ²>. (73а)

Такой вид решения системы (68) облегчает вычисления на тех мо­делях микрокалькуляторов, которые непосредственно дают значения < x > и < x >².

Существуют также микрокалькуляторы, которые имеют постоян­но заложенную в них программу для вычисления параметров уравне­ния интерполирующей прямой. Для этого следует ввести в кальку­лятор значения x_i, y_i и нажать одну клавишу.

Разумеется, не всякая зависимость описывается уравнением пря­мой линии. Однако в ряде случаев можно путем простых преобразо­ваний привести к линейной более сложную зависимость. Так, например, если y = k / x + l, то, введя новую переменную z = 1/ x, по­лучим линейную связь между y и z. Точно так же, если y = ab^x, то логарифмируя, придем к линейной связи между x и lg y. Поэто­му, пользуясь линейными уравнениями, можно находить оптимальные функции в довольно большом числе важных случаев. Теория позво­ляет находить коэффициенты уравнений и тогда, когда связь между измеряемыми величинами описывается более сложными функциями.

Следует подчеркнуть, что способ наименьших квадратов не мо­жет дать ответа на вопрос о том, какого вида функция лучше все­го аппроксимирует данные экспериментальные точки.

Вид интерполирующей функции должен быть задан на основании каких-то физических соображений. Метод наименьших квадратов поз­воляет нам лишь выбрать, какая из прямых, экспонент или парабол является лучшей прямой, лучшей экспонентой или лучшей параболой,

Вообще говоря, можно утверждать, что, чем больше произволь­ных параметров содержит интерполирующая функция, тем лучше она аппроксимирует данные точки. Поэтому задача оптимальной интерпо­ляции, по-видимому, должна ставиться так: подобрать наилучшую интерполирующую функцию при наименьшем числе параметров. Оче­видно, что в общем виде эта задача не решается, и выбор вида функции обычно осуществляется либо на основании физических сооб­ражений, либо рядом эмпирических проб.

Нетрудно составить систему линейных уравнений для интерполя­ции с помощью параболы: y = ax ² + bx + c, а также поли­нома любой степени (разумеется, число используемых точек должно быть не меньше числа коэффициентов, подлежащих определению). Однако практически используются только уравнения первой, реже второй степени.

Применение многочленов более высоких степеней обычно лишено физического смысла, не говоря уже о трудностях вычислений, которые обычно возрастают по мере увеличения числа членов в интерполирующем уравне­нии.

 

Дело не столько в «трудностях вычислений», сколько в принципиальной бессмысленности такого рода занятия. В. Г.

Далее опускаю скучных 12 страниц (74-85).

 

 

3. О ТОЧНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Точность обработки числового материала должна быть согла­сована с точностью самих измерений. Вычисления, произведен­ные с большим числом десятичных знаков, чем это необходимо, требуют лишней затраты труда и создают ложное впечатление о большей точности измерений, В то же время, разумеется, не следует ухудшать результаты измерений, пользуясь излишне грубыми методами вычислений. Так, например, если погреш­ность измерений составляет около 1%, то для вычислений мож­но применять логарифмическую линейку, позволяющую надежно отсчитывать три значащие цифры. При измерениях, выполнен­ных с погрешностью 1¸0.1%, можно пользоваться четырехзнач­ными таблицами логарифмов.

Во всех случаях нужно придерживаться следующего простого правила:

Погрешность, получающаяся в результате вычислений, долж­на быть примерно на порядок (то есть в 10 раз) меньше суммар­ной погрешности измерений. При этом можно быть уверенным, что в процессе арифметических операций мы ощутимым образом не исказим результат.

Поясним это правило на примерах.

1. Для измерения электрического сопротивления провода определена сила протекающего через него тока, оказавшаяся равной 27.3 мА, и падение напряжения на нем 6.45 В. Приме­нявшиеся приборы гарантировали относительную погрешность измерения этих величин не более 1%.

Найдем величину сопротивления из закона Ома:

R = V / I = 6.45/0.0273 = 236.2627 Ом;

так как V и I определены с точностью около 100, то погреш­ность определения R несколько больше 1%. Поэтому вы­числения целесообразно делать не точнее, чем до четвертого знака, и результат записать в виде 236.3 Ом.

Оценка погрешности результата может быть сделана на том основании, что каждый из двух сомножителей V и 1/ I определен с точностью до 100. Их произведение вычисляется с погрешностью, несколько большей 1%, но не более 2%, Поэто­му результат окончательно может быть записан в виде R = 236±4 Ом. Доверительную вероятность для погрешности в дан­ном случае определить нельзя, ибо указание погрешности при­бора дает только верхний ее предел, но не закон распределения погрешностей данного прибора.

2. Сопротивление провода определяется путем измерения его длины и диаметра. Удельное сопротивление известно с точ­ностью, значительно большей, чем измеряемые величины.

В результате десяти измерений длины l и диаметра d получены l = 25.32 мм, S = 0.12 мм. d =1.54 мм. S_d = 0.021 мм.

Относительная среднеквадратическая погрешность R будет определена из соотношения

S_R ² = (Sd ²)²/(d ²)² + S_l ²/ l ².

Принимая во внимание, что Sd ² = 2× S_d, имеем

S_R/R = {(2 S_d / d ²)2 + S_l ²/ l ²}^1/2.

Очевидно, что при окончательном подсчете погрешность измерения длины практически можно не учитывать.

Относитель­ная среднеквадратическая погрешность измерений площади (квадрата диаметра) будет Sd ²/ d ² = 2× S_d / d ² = 1.8%. Если мы ограничиваемся доверительной вероятностью 0.95, то табл. IV дает для этого случая t _{a ,n} = 2.3, и относительная по­грешность среднего арифметического из наших десяти измере­ний будет

D< R >/< R > = 1.8×2.3/10^1/2» 1.3%.

 

 

Это погрешность, соответствующая доверительной вероят­ности 0.95.

Таким образом, R нужно вычислить с точностью немного большей 100, т.е. ограничиться третьей значащей цифрой.

В случае медного провода для комнатной температуры мы получим

R = 1.78×10-6 4l/pd2 = 2.42×10^–4 Ом.

с относительной погрешностью 1.3% (для доверительной веро­ятности 0.95).

 

 

4. ЧИСЛО ЗНАКОВ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Мы знаем, что величина случайной погрешности D x, как и сами результаты измерений, подвержена случайным коле­баниям.

Примеры, приведенные ранее (см. стр.54), показывают, что даже при довольно большом числе измерений доверительные интервалы для ⁿS получаются большие, то есть величину по­грешности мы всегда определяем достаточно грубо.

При 10 измерениях S определяется с погрешностью более 30%. Поэтому, как правило, следует в этом случае для ¹⁰S приводить одну значащую цифру, если она больше 3, и две значащие цифры, если первая из них меньше 4.

Например, если ¹⁰ S получилось равным 0.523, то при­водим только одну цифру – ¹⁰ S = 0.5; если ¹⁰ S = 0.124; то имеется возможность давать две значащие цифры ¹⁰ S = 0.12.

При n = 25 s _nS = 1/7. Очевидно, что в этом случае нет смысла вычислять и приводить для ⁿS более двух значащих цифр, т.е. нужно писать ⁿS = 2.З, а не 2.34 или ⁿS = 0.52, а не 0.523.

При расчетах на микрокалькуляторах необходимо помнить, что мы всегда автоматически получаем больше значащих цифр, чем это соответствует точности измерений. При этом совершен­но необходимо в окончательных результатах делать соответст­вующие округления, так как большое число приводимых десятич­ных знаков создает ложное впечатление о большой точности измерений.

По этому поводу неоднократно писалось и, казалось бы, здесь все очевидно, однако до сих пор результаты некоторых экспериментальных исследований вызывают удивление излишним. числом значащих цифр, ликвидируя которые можно сделать эти результаты и более легко читаемыми и более убедительны­ми.