Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


¬ противополож≠ность этому относительна€ погрешность суммы




D Z/Z = [(D X)2 + (D Y)2]1/2/(X + Y)(29)

очевидно не зависит от соотношени€ величин X и Y.

—ледующий вывод, вытекающий из закона сложени€ погрешнос≠тей, относитс€ к определению погрешности среднего арифметическо≠го. ћы уже говорили, что среднее арифметическое из р€да измере≠ний от€гчено меньшей погрешностью, чем результат каждого от≠дельного измерени€. —ейчас этот вывод может быть записан в количественной форме. ѕусть x 1, x 2,..., хn результаты отдель≠ных измерений, причем каждое из них характеризуетс€ одной и той же дисперсией S 2. ќбразуем величину y, равную

y = (1/ nAxi = x 1/ n + x 2/ n +... + хn / n.

ƒисперсии этой величины Sy 2 в соответствии с формулой (26) определ€ютс€ как

Sy 2 = S 2/ n 2 + S 2/ n 2 +... + S 2/ n 2 = nS 2/ n 2 = S 2/ n (30)

Ќо y, по определению, это Ц среднее арифметическое извсех величин xi, и мы можем написать

Sy = S < x > = S / n 1/2. (31)

—редн€€ квадратическа€ погрешность среднего арифметического равна средней квадратической погрешности отдельного результата измерений, деленной на корень квадратный из числа измерений.

Ёто Ц фундаментальный закон возрастани€ точности при росте чис≠ла наблюдений. »з него следует, что, жела€ повысить точность из≠мерений в 2 раза, мы должны сделать вместо одного Ц четыре измерени€; чтобы повысить точность в 3 раза, нужно увеличить чис≠ло измерений в 9 раз, и, наконец, увеличение числа наблюдений в 100 раз приведет всего лишь к дес€тикратному увеличению точности измерений.

–азумеетс€, это рассуждение относитс€ лишь к измерени€м, при которых точность результата полностью определ€етс€ случай≠ной погрешностью. ¬ этих услови€х, выбрав n достаточно большим, мы можем существенно уменьшить погрешность результата. “акой метод повышени€ точности сейчас широко используетс€, особенно при измерении слабых электрических сигналов.

–ассмотрим снова пример со взвешиванием.

ƒопустим, что 0.05 г Ц средн€€ квадратическа€ погрешность одного взвеши≠ва≠ни€, и мы по-прежнему взвешиваем 100 образцов, клад€ на весы каждый раз только один из них.

¬ соответствии с изложенным погрешность определени€ суммар≠ной массы M этих образцов будет SM = [1S100 S i2]1/2;.

так как погрешности всех измерений одинаковы, а всего измерений 100, то погрешность суммарной массы SM = (100)1/2× S = 10× S = 10´0.05 = 0.5 г.

“аким образом, мы можем утверждать, что из 1000 измерений общей массы, проделанных описанным выше способом, около 320 дадут отклонени€ от измеренного значени€ больше чем на 0.5 г, только около 50 Ц более чем на 1 г, и около трех Ц результаты которых будут на 1.5 г и более отличатьс€ от истинного значени€.

ѕри практической работе очень важно строго разграничивать применение средней квадратической погрешности отдельного изме≠рени€ nS и средней квадра≠ти≠ческой погрешности среднего ариф≠метического S < x >.

ѕоследн€€ примен€етс€ всегда, когда нам нужно оценить погреш≠ность того значени€, которое мы получили в результате всех про≠изведенных измерений.

¬ тех случа€х, когда мы хотим характеризовать точность при≠мен€емого способа измерений, следует использовать погрешность nS или s, если n достаточно велико.

ѕо€сним сказанное следующим примером.

Ѕыло сделано дес€ть измерений электрического сопротивлени€ провода R, в результате которых получены значени€, приведенные в табл.4.

<R> = S Ri /10 = 274.7, 10Sї 1.6, nS < R > = 1.6/101/2ї 0.5.

“аблица 4. »змерени€ сопротивлени€

Ќомер измерени€           б        
R                    

“аким образом, средн€€ квадратическа€ погрешность SR изме≠рени€ сопротивлени€ данного провода равна 0.5 ќм, или же, пе≠реход€ к относительным погрешност€м, около 0.2%. Ќо квадрати≠ческа€ погрешность 10 S примен€емого метода измерений составл€ет 1.6 ќм, а относительна€ его погрешность Ц около 0.6%.

≈сли мы описываем метод, которым производилось измерение, то должны указать именно эту последнюю погрешность. «на€ ее, можно выбрать нужное число измерений, чтобы, пользу€сь табл.1V, получить желаемую случайную погрешность окончательного резуль≠тата измерений.

—ейчас[9]) прин€то среднюю квадратическую погрешность результа≠та измерений записывать в скобках непосредственно после резуль≠тата. ¬ нашем примере дл€ электрического сопротивлени€ R это будет выгл€деть так:

R = 274.7 (0.5).

 

6. —“ј“»—“»„≈— »≈ ¬≈—ј

ƒопустим, что одним и тем же методом с одинаковой степенью точности выполнено k серий измерений. ¬ первой серии число из≠мерений n 1, во второй - n 2 и т.д., в k -й - nk; если каждое измерение характеризуетс€ погрешностью s, то погреш≠ность среднего арифметического дл€ серии с номером i будет в соответствии с формулой (26)[10])

s i = s/(ni)1/2.

ќчевидно, что если в одной серии сделано в четыре раза боль≠ше измерений, чем в другой, то погрешность результата одной серии будет соответственно в два раза меньше.

≈сли мы захотим дл€ повышени€ точности результата усредн€ть его по средним значени€м дл€ обеих серий, то должны учитывать то обсто€тельство, что один результат получен с вдвое меньшей погрешностью. этой целью вводитс€ пон€тие статистического веса или просто веса наблюдений. ¬ приведенном примере за ста≠тистический вес р следует прин€ть число, пропорциональное ко≠личеству наблюдений, выполненных в серии, то есть положить

pi = k×ni.

ѕодставив отсюда значение ni в (16), имеем

pi = s2/s i 2

или, положив коэффициент пропорциональности k s2 =  ,получим

pi = K/ s i 2.

≈сли имеетс€ р€д результатов измерений, вообще выполненных в разных услови€х, причем дл€ каждого результата известна сред≠н€€ квадратическа€ погрешность s i, то и в этом случае можно дл€ совместной обработки результатов приписать им соответству≠ющие статистические веса pi,положив также

pi = B/ s i 2.

«десь B Ц произвольное число. ќно обычно выбираетс€ таким, чтобы pi, были по возможности небольшими целыми числами. „ас≠то бывает, что s i заранее неизвестны и отдельным измерени€м приписываютс€ веса на основании разного рода качественных сооб≠ражений, св€занных, например, с квалификацией наблюдателей, про≠изводивших отдельные измерени€, различием в точности измеритель≠ных инструментов, с которыми они производились, и т.п.

¬ведение статистических весов, определенных на глаз, разумеетс€, нельз€ считать строгим приемом, однако он дает возможность хоть как-то использовать всю совокупность наблюдений. —ледует иметь в виду, что если веса отдельных наблюдений различаютс€ в 10 и более раз (s i и s k различаютс€ более чем в три раза), то обычно лучше просто отбросить из рассмотрени€ наблюдени€ с малыми весами, так как их учет может только испортить хорошие результаты.

≈сли нам известна совокупность р€да результатов xi с соот≠ветствующими им статистическими весами pi, то за наиверо€тней≠шее значение измер€емой величины следует прин€ть уже не среднее арифметическое, а взвешенное среднее, которое также обозначим < x >:

< x > = 1S npixi /1S npi. (32)

–азумеетс€, если p 1 = p 2 =... = pn, то (32) переходит в (3).

—реднюю квадратическую погрешность дл€ < x > можно получить аналогично тому, как она была определена дл€ равноточных изме≠рений.

¬ результате

nS < x > = {[1S npi (< x > Ц xi)2]/[(n Ц1)×1S npi ]}1/2 (33)

ѕри выборе нужного числа измерений предполагаем, что система≠тическа€ погрешность метода достаточно мала. (ѕодробнее обэтом см. на стр. 67).

 

7. ќѕ–≈ƒ≈Ћ≈Ќ»≈ ƒќ¬≈–»“≈Ћ№Ќќ√ќ »Ќ“≈–¬јЋј

» ƒќ¬≈–»“≈Ћ№Ќќ… ¬≈–ќя“Ќќ—“»

–анее мы с помощью табл. II определ€ли доверительные веро€т≠ности дл€ отдельного измерени€ xi, то есть, вычисл€ли веро€тность того, что xi не будет уклон€тьс€ от истинного значени€ более чем на D x. ќчевидно, важнее знать, насколько может уклон€тьс€ от истинного значени€ x среднее арифметическое < x > наших изме≠рений. ƒл€ этого также можно воспользоватьс€ табл.IV, вз€в, однако, вместо s значение s< x >, то есть s xi / n 1/2.

“огда дл€ аргумента e, с которым мы входим в табл. II, бу≠дем иметь значение

e = D x /s< x > = D x × n 1/2/s. (34)

ћы теперь знаем, как определ€ть доверительную веро€тность дл€ любого доверительного интервала, если известна средн€€ квад≠ратическа€ погрешность s. ќднако дл€ того чтобы определить последнюю, нужно сделать очень много измерений, а это не всегда возможно и удобно. ¬ тех случа€х, когда измерени€ провод€тс€ с помощью уже хорошо исследованного метода, погрешности которого известны, мы заранее знаем s.  ак правило, однако, погрешность метода приходитс€ определ€ть в процессе измерений. » обычно мы можем определить только величину nS, соответствующую тому или иному, но всегда сравнительно небольшому числу измерений n (2 S, 3 S, 4 S,..., nS здесь означают средние квадратические по≠грешности отдельного измерени€, определенные по формуле (16) дл€ случаев двух, трех, четырех и т.д. измерений). ≈сли дл€ оцен≠ки доверительной веро€тности будем считать, что полученные нами значени€ совпадают с s, и воспользуемс€ табл.II дл€ нахождени€ доверительной веро€тности, то найдем неверные (завышенные) зна≠чени€ a.

Ёто результат того, что при определении среднеквадратической погрешности из малого числа наблюдений мы находим эту погрешность с малой точностью. ѕроисход€ща€ вследствие этого неопределенность в определении погрешности приводит ктому, что когда мы замен€ем s на nS, то уменьшаем надежность нашей оценки, причем тем сильнее, чем меньше n.

≈ще сравнительно недавно (лет 25¸30 назад) указанные обсто≠€тельства не всегда принимались во внимание, да и сейчас зачас≠тую не делают различи€ между генеральной s2 и выборочной nS2 дисперсией.

ѕусть мы определили выборочную дисперсию nS 2 дл€ некото≠рого числа наблюдений n и хотим определить дл€ заданного нами доверительного интервала ±D x соответствующую ему доверитель≠ную веро€тность.

ќчевидно, что если в формуле (34) заменим s на n S2 то такому доверитель≠ному интервалу будет соответствовать меньша€ доверительна€ веро€тность. ƒл€ того чтобы учесть это обсто€тель≠ство, интервал D x можно представить в виде

D x = t a, n × nS / n 1/2, (35)

откуда

t a, n = D x × n 1/2/ nS. (36)

ћы видим, что t a, n Ц величина, аналогична€ e: она играет ту же роль, но в случае, когда число измерений, из которых определе≠на погрешность nS,не очень велико.

¬еличины t a, n , нос€щие название коэффициентов —тьюдента, вычислены по законам теории веро€тностей дл€ различных значений п и a и приведены в табл. III, также помещенной в ѕриложении.

—равнива€ табл.III с табл.II, легко убедитьс€, что при больших n значени€ t a, n стрем€тс€ к соответствующим значени€м e. Ёто естественно, так как с увеличением n величина nS стремитс€ к s.

»спользу€ коэффициенты —тьюдента, мы можем переписать ра≠венство (21) в виде

P ( [<x> Ц t a, n nS / n 1/2] < x < [< x > + t a, n nS / n 1/2] ) = a. (37)

ѕользу€сь этим соотношением и табл. III, легко определ€ть довери≠тельные интервалы и доверительные веро€тности при любом неболь≠шом числе измерений.

ƒадим примеры применени€ табл. III. ѕусть среднее арифмети≠ческое из 5 измерений будет 31.2. —редн€€ квадратическа€ погреш≠ность, определенна€ из 5 измерений, равна 0.24. ћы хотим найти доверительную веро€тность того, что среднее арифметическое отли≠чаетс€ от истинного значени€ не более чем на 0.2, то есть будет вы≠полнитьс€ неравенство 31.0< x < 31.4,

«начение t a,5 определим, подставив полученные результаты в формулу (36), тогда

t a,5 = 0.251/2/0.24 = 1.86.

ѕо табл. III находим дл€ n = 5 при a = 0.8 имеем t 0.8,5 = 1.5, а при a = 0.9 имеем t 0.9,5 = 2.1.

¬ообще говор€, можно обычно удовлетворитьс€ ответом,что доверительна€ веро€тность дл€ этого случа€ лежит межу 0.8 и 0.9. ≈сли нужно получить более точное значение, то вычислим пропорци≠ональную часть подобно тому, как это обычно делаетс€ при пользо≠вании таблицами.

Ќужную нам величину вычисл€ем из пропорции

Da/(a2 Ц a1) = (t a,n Ц t 0.8, n )/(t0.8,n Ц t 0.9,n),

откуда

Da = 0.1×(0.36/0.6) = 0.06, a = a1 +Da = 0.8 + 0.06 = 0.86.

“аким образом, доверительна€ веро€тность получаетс€ равной 0.86.

¬ычислим теперь, какова доверительна€ веро€тность в случае 10 измерений при той же средней квадратической погрешности 0.24 и том же доверительном интервале 31.0¸31.4. ѕо формуле (36) определ€ем

t a,10 = 0.2×101/2/0.24ї 2.6.

»з табл. III находим, что ближайшее меньшее значение

t a,10 = 2.3 дл€ a = 0.95

и ближайшее большее значение

t a,10 = 2.8 дл€ a = 0.98.

ѕропорциональную часть найдЄм из соотношени€

Da = 0.3×0.03/0.5ї 0.02.

ќкончательно a = 0.97.

 

 

8. —–ј¬Ќ»“≈Ћ№Ќјя ќ÷≈Ќ ј

–≈«”Ћ№“ј“ќ¬ —“ј“»—“»„≈— ќ… ќЅ–јЅќ“ »

ѕусть мы получили р€д измерений одной и той же величины. ¬ нем всегда могут оказатьс€ отдельные результаты, подозрительно отличающиес€ (в большую или меньшую сторону) от остальных чле≠нов р€да.

—ледует ли их принимать во внимание при статистической обра≠ботке или нужно отбросить, как €вно ошибочные?

ќчевидно, что нельз€ пользоватьс€ интуицией и нужно примен€ть какие-то веро€т≠ностные критерии, на основании которых данное измерение призна≠етс€ ошибочным и выбрасываетс€ либо оставл€етс€, как допустимое в данном р€ду естественное статистическое отклонение. Ќе менее важные вопросы возникают при производстве нескольких р€дов на≠блюдений одной и той же физической величины. ¬ результате мы получаем дл€ каждого р€да свои значени€ < x > и S:

<x >1, < x >2,..., < x > n и S 1, S 2,..., Sn.

ћожно ли считать, что все эти результаты принадлежат одной и той же генеральной совокупности или разным? ¬ первом случае их следует обрабатывать совместно и за счет этого уменьшать погреш≠ность результата. ¬о втором Ц рассматривать их по отдельности Ц независимо друг от друга. ќчевидно, что все эти вопросы имеют не достоверные, а лишь веро€тные ответы. –асхождени€ между со≠ответствующими результатами считаютс€ значимыми, если веро€т≠ность того, что они случайны, превышает некоторую заданную нами величину, например 0.05, 0.01 или 0.001, называемую уровнем значимости.

¬ыбор того или иного уровн€ значимости, вообще говор€, произ≠волен и зависит в первую очередь от того, насколько важны послед≠стви€ ошибочного выбора. »наче говор€, что произойдет, если счи≠тать два числа принадлежащими к одной совокупности, когда они принадлежат к разным и наоборот. Ёто решаетс€ совершенно анало≠гично вопросу о том, когда можно считать веро€тность того или иного событи€ равной нулю (см. стр. 31).

„ем серьезнее последстви€ такой ошибки, тем при меньшем уров≠не значимости нужно рассматривать сравниваемые числа как принад≠лежащие разным совокупност€м.

¬начале разберем вопрос о тех погрешност€х, с которыми опре≠дел€етс€ сама погрешность. ≈сли мы находим S из очень боль≠шого числа измерений, то получаем величину, как угодно мало от≠личающуюс€ от своего предельного значени€, но когда n невелико, то S от€гчена случайными погрешност€ми, очевидно, тем меньши≠ми, чем больше n.

“очно так же, как и дл€ результатов измерений, существует закон распределени€, дающий возможность установить доверительную веро€тность того, что определенна€ нами из n из≠мерений погрешность nS будет отличатьс€ от s на некоторое за≠данное нами число.

ƒл€ определени€ доверитель≠ного интервала, внутри которого находитс€ s, можно воспользо≠ватьс€ приближенной формулой

s nSї s/[2×(n Ц 1)]1/2. (38)

«десь s пS Ц средн€€ квадрати≠ческа€ погрешность n S, когда nS вычислено из n измере≠ний; вообще говор€, это выражение справедливо дл€ n, большего 30, но в случае грубых оценок его можно использовать и дл€ меньших n.

»з формулы (38) следует, что при n = 25 s25S = s/7, то есть s определ€етс€ с точностью около 7. ѕри n = 50 точность определе≠ни€ s составл€ет около 10.

Ѕолее строгое рассмотрение дает возможность правильной оцен≠ки доверительного интервала дл€ s и прималом числе измере≠ний.

 

ƒл€ этого мы введем величину c2, которую определим сле≠дующим образом:

c2 = (n Ц 1) nS 2/s2.

«акон распределени€ этой величиныизвестен под названием c2-распределе≠ни€, которое представ≠лено графически на рис.12.

‘унк≠ци€ распределени€ c2 характеризуетс€ асимметричностью, осо≠бенно сильной дл€ малых n. ƒл€ больших n это распределение переходит в нормальное с дисперсией, определ€емой формулой (38). ƒоверительный интервал дл€ s вычисл€етс€ с помощью таблицы, составленной дл€ нормального распределени€.

ѕри более точных оценках доверительного интервала дл€ s мож≠но воспользоватьс€ табличными значени€ми, составленными дл€ c2 -распределени€.

»з выражени€ (39) следует

s2 = [(n Ц 1)/c2] nS 2 = g2× nS 2. (40)

“абл.III дает возможность определить значени€ g1 и g2 удов≠летвор€ющие условию

P (g1× n S < s) = a1, P (g2× nS > s) = a2.

“ак как c2 -распределение асимметрично, то погрешности рав≠ных значений, но противоположного знака не равноверо€тны, как в случае нормального распределени€. ќтсюда следует, что при условии

a1 = a2×g1 ¹ 1/g2.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-10-01; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 693 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ћучша€ месть Ц огромный успех. © ‘рэнк —инатра
==> читать все изречени€...

1286 - | 1239 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.052 с.