Тогда из выражения (47) имеем

Y + D Y = A ×(X + D X) + B, (48)

вычтя (47) из (48), получим

D Y = A ×D X. (49)

Если D X – погрешность измерения величины X, то соответственно D Y будет погрешностью результата.

В общем случае, если Y = f (X), то для погрешностей, малых по сравнению с измеряемой величиной, мы можем с достаточной точностью написать

D X = f ' (X)×D X. (50)

Если мы хотим найти величинуотносительной погрешности, то из (50) легко получаем

D Y / Y = [ f’ (X)/ f (X)]×D X. (51)

Эти определения относятся и к случайным и к систематическим погрешностям.

2. Простейший случай, когда интересующая нас величина являлась суммой двух или нескольких независимо измеряемых величин X ₁, X ₂,..., X_n, мы уже разбирали и написали для вычисления случайных погрешностей правило сложения дисперсий (26).

Теперь дадим правила вычисления погрешностей для случаев произведения и частного.

Если Y = X ₁× X ₂× X ₃, то

s _Y ² = (X ₁ X ₂s _X ₃)² + (X ₂ X₃ s _X ₁)² + (X ₁ X ₃s _X ₂)².(52)

Аналогично вычисляются погрешности для большего числа сомножителей.

Если Y = X ₁/ X ₂, то

s_Y² = (s _X ₁/ X ₂)² + (X ₁/ X ₂)s _X ₂². (53)

Относительные погрешности для случаев (52) и (53) выглядят одинаково:

(s _Y / Y)² = (s _X ₁/ X ₁)² + (s _X ₂/ X ₂)² + (s _X ₃/ X ₃)². (54)

и аналогично

(s _Y / Y)² = (s _X ₁/ X ₁)² + (s _X ₂/ X ₂)² (55)

Пользуясь обозначениями дифференциального исчисления, можно погрешность функции Y от переменных X ₁, X ₂,..., X_n представить в виде

s _Y = {₁S ⁿ [(¶ f /¶ X _i)×s X_i ]²}^1/2. (56)

Формулы (52¸56) сохраняют свой вид, если вместо s мы возьмем среднеквадратические погрешности ⁿS,вероятные p или среднеарифметические r.

В общем виде

D Y = {₁S ⁿ [(¶ f /¶ X _i)×D X_i ]²}^1/2. (57)

Относительную погрешность величины Y легко вычислить, написав

(DY/Y)² = ₁S ⁿ [(1/ f)×(¶ f /¶ X _i)×D X_i ]².

Так как

(1/ f)×(¶ f /¶ X _i) = ¶ln f /¶ X_i, (58)

то для относительной погрешности получаем

D Y / Y = {₁S ⁿ [¶ ln f /¶ X_i)×D X_i ]²}^1/2. (59)

Может возникнуть вопрос, как правильнее вычислять среднеарифметическое значение и погрешность результата в случае косвенных измерений?

Если у = f (x)и измерения дают нам ряд значений x_i, то можно поступить двояким образом:

1) вычислить < x > = S ⁿx_i / n и, подставив это значение в уравнение у = f (x), получить < у > = f (< x >);

2) для каждого из значений x_i вычислить у_i = f (x_i), а затем определить у по соотношению < y > = ₁S ⁿy_i / n. (60)

Соответственно двумя способами можно определять и погрешность величины y: либо, определив погрешность величины < x >, воспользоваться соотношением

D y = f' (x)×D x, (61)

либо, вычислив ряд значений y_i определить погрешность величины y обычным путем, например,

s_{< y >} = {₁S ⁿ (< y > – y_i)²/(n –1)}^1/2.

Можно показать, что если погрешности измерений малы по сравнению с измеряемой величиной (именно это предположение положено в основу всех наших формул), то оба способа дают достаточно близкие результаты, и поэтому безразлично, каким из них пользоваться.

Здесь следует руководствоваться практическими удобствами расчета, а с этой точки зрения первый способ представляется менее трудоемким. Кроме того, если результаты измерений распределены по нормальному закону, то закон распределения величин y, вообще говоря, отличен от нормального.

Поэтому для определения доверительных интервалов по табл.IV лучше пользоваться первым способом. Если же применять второй способ, то целесообразно убедиться в близости полученного распределения к нормальному.

12. СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

РАЗЛИЧНОГО ПРОИСХОЖДЕНИЯ

При косвенных измерениях нужный нам результат обычно отягчен случайными погрешностями» различными для разных величин X_i, от которых зависит интересующая нас величина Y.

Результирующая погрешность и в этом случае определяется с помощью уже известного нам закона сложения случайных погрешностей. Вычисление удобнее выполнять, пользуясь относительными погрешностями.

Поясним это на примере определения плотности. Допустим, что в нашем распоряжении имеется прямоугольный параллелепипед из вещества, плотность которого нужно определить. Длины его граней X ₁, X ₂ и X ₃. Для определения плотности d = m / V (где т – масса параллелепипеда, V – его объем) мы измеряем длины граней и массу нашего образца. Пусть s X ₁, s X ₂, s X ₃ – среднеквадратические погрешности измерения длин граней, а s _m – погрешность определения массы. Тогда, согласно формуле (26),

(s _d / d)² = (s _m / m)²+ (s _X ₁/ X ₁)² + (s _X ₂/ X ₂)² + (s _X ₃/ X ₃)².

Допустим, что взвешивание производится на аналитических весах, дающих погрешность около 1 мг при массе образца около 10 г. Тогда s _m / m» 10^–4» 10^–2 %.

Пусть объем нашего тела около 1 см ³. Если мы хотим, чтобы точность измерения плотности тела определялась в основном точностью взвешивания, то необходимо, чтобы погрешность в измерении длин граней была меньше погрешности взвешивания, то есть s _X / X < 10^–4; это при размере граней в 1 см означает, что s _X должна быть меньше 10^–4 см. Если в нашем распоряжении для измерения длины есть инструменты типа штангенциркуля, допускающего погрешность до 0.01 см, то очевидно, что необходимой степени точности мы не получим, так как точность измерения длины составит всего 100. В этом случае для взвешивания можно пользоваться более грубыми весами, дающими погрешность в несколько десятков раз большую, например, так называемыми техническими. Это будет и более целесообразно, ибо потребует меньшей затраты времени и средств. Однако если нам все же необходимо определить плотность с точностью 10⁴, то следует для измерения сторон параллелепипеда пользоваться очень точным микрометром, позволяющим измерить длину с погрешностью, меньшей чем 10^–3 мм, и в этом случае необходимо взвешивать на аналитических весах.

На приведенном примере можно проследить еще некоторые свойства результирующей погрешности, являющиеся следствием закона суммирования погрешностей.

Допустим, что наш параллелепипед имеет плоскую форму, то есть X ₁<< X ₂» X ₃ (рис.13).

Большинство инструментов, применяемых для измерения длины, дает погрешность D x, величина которой почти не зависит от измеряемой длины (в пределах измерения данным инструментом).

Абсолютная погрешность постоянна (см. стр.15). Поэтому мы и положим s _X ₁= s _X ₂= s _X ₃= s _x, но в этом случае

s _X ₁/ X ₁ >> s _X ₂/ X ₂» s _X ₃/ X ₃

и определяющей будет погрешность измерения самой малой грани.

Практически, если одна грань в 3¸4 раза меньше двух других, то погрешностями измерения последних можно пренебречь.

Таким образом, формула (57) всегда позволяет сделать оценку роли погрешностей в различных звеньях измерительного процесса. Причем условия измерений наиболее рационально выбрать так, чтобы относительные погрешности каждого звена были приблизительно одинаковыми. В противном случае точность результата обычно задается какой-то одной величиной, а именно той, точность измерения которой наименьшая.

13. СОГЛАСОВАНИЕ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ СО СВОЙСТВАМИ ИЗМЕРЯЕМОГО ОБЪЕКТА

Вернемся к примеру с измерением плотности. В том случае, когда необходимо измерить ее с высокой степенью точности, которая определялась бы в основном погрешностью взвешивания на аналитических весах, нужно, как мы говорили, измерять длины ребер с погрешностью, меньшей 1 мкм. Однако легко показать, что без дополнительных мер предосторожности измерение длин с такой погрешностью все же не приведет к нужной точности в измерении объема.

Действительно, объем параллелепипеда V мы положили равным X ₁× X ₂× X ₃. На самом деле он отличается от этой величины в первую очередь потому, что у реального параллелепипеда углы не равны точно 90°, а поверхности не строго плоские. Легко показать, что если один из углов квадрата имеет погрешность в 1°, то это даст погрешность в его площади около 1%.

Для того чтобы объем куба можно было измерить с точностью 10.000 без учета поправок на отклонение углов от 90°, необходимо, чтобы утлы были выполнены с отклонением меньше минуты. Достичь такой точности углов в процессе изготовления трудно, и для многих изделий утлы отягчены большей погрешностью. Погрешность, определяемая отклонением поверхностей параллелепипеда от плоскости, чаще всего невелика, но если поверхность, например, сильно шероховата, то последнее может внести заметное искажение в измерение длин, как это легко понять из рис.14, на котором шероховатость представлена в увеличенном виде. В результате неровности поверхности измеренный объем всегда будет больше истинного. Для случая определения плотности описанным методом чаще всего именно погрешности углов параллелепипеда будут ограничивать точность измерения его объема.

И поэтому нет смысла добиваться точности измерения длин большей,чем та, которая может быть достигнута при применении соотношения V = X ₁× X ₂× X ₃, то есть без учета погрешностей, допущенных при изготовлении параллелепипеда. Эта ситуация совершенно аналогична описанной нами, когда речь шла о роли систематических и случайных погрешностей. Мы тогда указывали, что нет особого смысла стремиться сделать случайную погрешность значительно меньше, чем та систематическая погрешность, которая определяется классом точности измерительного устройства. Совершенно также нет смысла добиваться, чтобы погрешность измерений была меньше погрешности, определяемой той схематизацией, которая принята при наших измерениях. В самом деле, любая формула, устанавливающая количественную связь между физическими величинами, является некоторой математической моделью, в действительности удовлетворяющейся с тем или иным приближением.

В нашем примере не были учтены отклонения углов параллелепипеда от 90° и его поверхности от плоскости. Нетрудно написать более сложную формулу для объема с учетом этих обстоятельств. Но такая формула также всегда будет лишь некоторым приближением к действительности, и погрешность наших измерений должна быть согласована с соответствием принятой, модели реальным свойствам измеряемого объекта.

Оценку необходимой точности следует делать в результате тщательного анализа условий опыта и факторов, влияющих на конечный результат.

14. УЧЕТ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ И СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Ранее мы говорили» что измерения следует организовать так, чтобы погрешность результата целиком определялась систематической погрешностью измерений, которая не может быть меньше погрешности измерительного прибора. Для этого рекомендовалось провести такое число измерений, чтобы случайная погрешность результата была незначительна по сравнению с систематической погрешностью.

Однако не всегда возможно осуществить необходимое число измерений. Этому может препятствовать высокая стоимость измерений, а для изменяющихся со временем величин иногда процесс измерения оказывается слишком длительным и мы просто не успеваем произвестидостаточное число измерений.

В результате часто приходится мириться с положением, когда систематическая и случайная погрешности измерений близки друг к другу и они обе в одинаковой степени определяют точность результата. К сожалению, в этом случае трудно дать достаточно строгое определение суммарной погрешности измерений.

Когда мы имеем дело только с погрешностью прибора, то, указывая, как в примере с миллиамперметром, погрешность ±0.75 мА, мы, естественно, не зная свойств данного прибора, ничего не можем сказать о том, какова вероятность сделать погрешности +0.2 или –0.3 мА. Мы знаем только верхнюю границу возможных погрешностей. Если к такой систематической погрешности присоединяется случайная, то, очевидно, также почти ничего нельзя сказать о вероятности появления погрешностей различной величины, но можно оценить значения суммарных погрешностей.

В самом деле, если величину систематической погрешности обозначить d, а дисперсию измерений – s², то в качестве верхней границы суммарной погрешностиS мы можем принять

S = d + 2s. (62)

Действительно, с вероятностью более 0.95 мы можем утверждать, что результаты измерений не будут отличаться от истинного значения на величину, превышающую S.

Такое правило сложения можно распространить на систематические погрешности любого происхождения.

Подчеркнем еще раз, что вопрос о сложении систематических и случайных погрешностей актуален только тогда, когда одна из них не более чем в несколько раз превышает другую. В противном случае в качестве меры погрешности измерения следует указывать только большую погрешность.

Отметим, что, не имея строгого решения, вопрос о правилах сложения систематической и случайной погрешностей можно решать разным образом.

Иногда рекомендуют вообще отказаться от нахождения суммарной погрешности и давать в качестве меры погрешности измерений две погрешности - систематическую и случайную.

Однако, чтобы воспользоваться результатом измерений, нам, как правило, нужно знать общую его погрешность вне зависимости от причин, ее породивших.

Поэтому приходится каким-то образом комбинировать систематическую и случайную погрешности для получения единой числовой характеристики точности измерений.

Одно из возможных правил нахождения такой суммарной погрешности состоит в том, что мы условно полагаем систематическую погрешность распределенной также по нормальному закону и считаем, что указанная величина этой погрешности d соответствует утроенному значению среднеквадратической условной погрешности s', то есть d» 3s'. В этом случае суммарную погрешность нужно писать так:

S = [9×(s')² + 9×s²]^1/2 = [d² + 9×s²]^1/2. (63)

Погрешности S тогда можно приписать доверительную вероятность 0.997. Легко показать, что различие, даваемое формулами (62) и (63), невелико. Практически (так как мы не знаем истинного закона распределения систематических погрешностей) можно пользоваться любой из них для ориентировочных оценок суммарной погрешности.

Бели известно, что результаты измерения содержат систематические погрешности d₁, d₂,..., d _n и случайную s, то для нахождения суммарной погрешности S часто служит формула

S = [s² + S ⁿ d _i ²]^1/2. (64)

В книге Тейлора с соавторами [18] при обсуждении применимости этой формулы указывается, что она дает общее среднеквадратическое отклонение, если все систематические погрешности независимы и каждая характеризуется своим значением S. Далее авторы пишут: "Хотя нельзя сказать точно, удовлетворяют ни этому условию систематические погрешности, принято считать, что удовлетворяют". К сожалению, последняя оговорка в значительной мере обесценивает обоснованность применения формулы (64), но ею все же широко пользуются даже при таких ответственных процедурах, как согласование численных значений основных физических констант.

В защиту формулы (64) можно, однако, привести следующее: систематические погрешности в данной серии измерений имеют постоянное, но неизвестное нам значение, которое может оказаться иным в другой серии, или при других условиях эксперимента. Значения d в формулах (62)¸(64) – это не истинные значения систематических погрешностей, которые нам неизвестны, а наши оценки этих погрешностей. Такие оценки постоянных величин являются величинами случайными.

А если погрешностей d несколько, то можно с некоторой долей уверенности говорить и о нормальном законе распределения систематических погрешностей.

Отметим, что погрешность s также является постоянной величиной, точное значение которой нам неизвестно. Взамен него во всех вычислениях всегда фигурирует случайная величина ⁿS, которая служит оценкой s, тем лучшей, чем больше n.

Поэтому формулу (64) следует признать вполне закономерной.

15. ОПТИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО ИЗМЕРЕНИЙ

Для уменьшения случайной погрешности результата, как мы уже знаем, могут быть использованы два пути: улучшение точности измерений, то есть уменьшение величины s, и увеличение числа измерений, то есть использование соотношения s_<x> = s/ n ^1/2.

Сейчас будем говорить только о последнем приеме, условна считая, что все возможности совершенствования техники измерений уже использованы.

Пусть систематическая погрешность измерений, определяемая классом точности прибора или другими аналогичными обстоятельствами, будет d.

Известно, что уменьшать случайную погрешность целесообразно только до тех пор, пока общая погрешность измерений не будет полностью определяться ее систематической составляющей. Для этого необходимо, чтобы доверительный интервал, определенный с выбранной степенью надежности, был существенно меньше величины систематической погрешности, то есть

D x << d. (65)

Разумеется, нужно условиться, какой степени надежности мы требуем и какую величину для случайных погрешностей следует считать допустимой, то есть какое соотношение величин D x и d можно считать удовлетворяющим условию (65). Строгую оценку этого сделать трудно, однако можно исходить из того, что, как правило, нет необходимости определять общую погрешность с точностью, большей 10. Это означает, что в том случае, когда D x £ d/10, условие (65) можно считать выполненным. Практически обычно можно удовлетвориться гораздо менее жестким требованием: D x £ d/3 или даже D x £ d/2.

Надежность a, с какой мы хотим установить доверительный интервал, в большинстве случаев не должна превышать 0.95, хотя иногда требуются и более высокие значения a. Для оценки оптимального числа измерений в Приложении помещена табл.V [14], в которой D x дано в долях средней квадратической погрешности. Приведем примеры пользования этой таблицей.

1. Измеряется диаметр шарика с помощью микрометра, имеющего погрешность в 1 мкм. Средняя квадратическая погрешность единичного измерения равна 2.3 мкм. Сколько измерений нужно проделать, чтобы получить погрешность не более 1.5 мкм с надежностью 0.95?

Положим D x = d/2 = 0.5 мкм, ⁿS = 2.3 мкм, D x = (0.5/2.3)× ⁿS = 0.22× ⁿS.

Из табл.V для a= 0.95 при e = 0.3 находим п = 46 и при e = 0.2 n = 100. Составив соответствующую пропорцию, легко рассчитать, что для e = D x / S = 0.22 требуется n»57.

Таким образом, нужно сделать около 60 наблюдений, чтобы случайная погрешность изменила общую погрешность результата измерений не более чем в полтора раза.

Интересно посмотреть, сколько нужно сделать измерений, если мы наложим еще менее жесткое требование, а именно чтобы систематическая и случайная погрешности были примерно равны по величине.

Вэтом случае полагаем d= D x = 0.45× S,тогда из той же табл.V находим (для a= 0.95) n» 23.

Мы видим, что число необходимых измерений получалось хотя и большое, но такое, которое часто может быть выполнено.

2. Относительная среднеквадратическая погрешность для некоторого измерения составляет 1%. Систематическая погрешность измерений d = 0.1%.

Сколько измерений нужно проделать, чтобы случайная погрешность практически не играла роли?

Так как все погрешности выражены в относительных единицах, то

D x /s = 0.05/1 = 0.05.

Из табл.V находим для той же доверительной вероятности a = 0.95 и для D x /s = 0.05 требуется n = 1500(!).

Очевидно, что практически такое число измерений обычно проделать нельзя.

Из этих примеров можно сделать заключение, что увеличением числа измерений можно устранить влияние случайной погрешности на результат только в том случае, если средняя квадратическая погрешность не более чем в несколько раз превосходит систематическую погрешность. Реально это возможно, если s £ 5×d

При больших значениях s для существенного уменьшения роли случайной погрешности уже требуются сотни и тысячи, а иногда десятки тысяч измерений, как это видно из табл.V.

При такой ситуации для уменьшения общей погрешности результата измерений необходимо радикально менять методику с тем, чтобы существенно уменьшить случайную погрешность измерений.