Бiрiншi шектiк есеп немесе Пуассон теңдеуi үшiн
(2)
Дирихле есебi: Қандай да бiр G облысының iшiнде (2) теңдеудi қанағаттандыратын, ал Г шекарасында
(3)
шартын қанағаттандыратын 
формуласын табу керек, мұндағы 
– берiлген үзiлiссiз функция.
және 
қадамдарын сәйкес х және у деп таңдап, тор тұрғызамыз 
және әрбiр iшкi 
түйiнiнде 
туындыларын (1) ақырлы айырымдар қатынасымен алмастырып (2) теңдеудi мына түрде жазамыз:
(4)
мұндағы 
функциясының мәндерiне қатысты сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесiн бередi.
Дербес жағдай. Егер G облысы тiк төртбұрыш және 
болса, онда (4) теңдеулер былайша жазылады:
Егер 
болғанда (2) Лаплас теңдеуі деп аталады.
және сәйкес ақырлы-айырымдық теңдеулер келесi түрде жазылады:
және теңдеулердi жазған кезде келесi түйiндер сұлбасы қолданылды:
2-сурет
Дифференциалдық теңдеудi айырымдық теңдеумен алмастыру қателiгi, яғни Лаплас теңдеуi үшiн қалдық мүше 
келесi теңсiздiкпен бағаланады:
мұндағы
Айырымдық әдiспен алынған жуықтаң шешiмнiң қателiгi келесi үш қателiктерден құралады:
1. Дифференциалдық теңдеудi айырымдық теңдеумен ауыстырғандағы қателiктен;
2. Шеттiк шарттарды жуықтау қателiгiнен;
3. Айырымдық теңдеулер жүйесiн жуықтап шешу нәтижесiнде пайда болатын қателiктерден.
МЫСАЛ
Қабырғасы 1-ге тең, оқшауланған жазық шаршы пластинкадағы жылудың станционар үлестірімі туралы есепті пластинканың шекарасында температура тұрақты болған жағдайда қарастырайық.
3-сурет
Температураның үлестірімін беретін 
(
, 
) функциясы Лаплас теңдеуінің шешімі болатыны белгілі:
Берілген есеп үшін шекаралық шарттар 3-суретте көрсетілген.
Шешуі:
қадаммен тор құрамыз, тоғыз ішкі тораптар аламыз. Осы тораптарда ақырлы-айырымдық теңдеулер құрамыз.
Шекаралық шарттардың симметриялылығын
11= 31, 12= 32, 13= 33 (1)
Бұл функциясының ішкі тораптардағы белгісіз мәндерінің санын тоғыздан алтыға дейін азайтады.
Осылайша (3,1), (3,2), (3,3) тораптарда ақырлы-айырымдық теңдеулерді жазудың қажеті жоқ. Қалған ішкі (1,1), (2,1), (1,2), (2,2), (1,3), (2,3) тораптарда сәйкес алты теңдеуді аламыз:
Бұл теңдеулер құрамына тағы функцияның шекаралық нүктедегі 12 мәні кіреді. Ол мәндерді біз шекаралық шарттардан аламыз:
(3)
Қалған тораптарға шекаралық шарттар қолданылмайды.
(2), (3) шарттарды ескере отырып, нақты түрде келесі жүйені аламыз:
Бұл жүйені Гаусс әдісімен шешіп, алатынымыз:
