Рунге-кутт әдісі

Коши есебін қарастырайық. арқылы ізделінді шешімнін нүктесіндегі жуык мәнін белгілейік. Рунге-Кутт әдісі бойынша ізделінді функцяның мәндер тізбегін есептеу формуласы

мұндағы

Бағалау қателігі

мұндағы – нүктесіндегі берілген теңдеудін шешімінін дәл мәні,

- мәндері h/2 және h қадаммен алынған жуық мәндер.

 

МЫСАЛ 1.

Коши есебінің [0; 0,2] кесіндіде e=10^-5 дәлдігімен жуық шешімін табу керек

Шешуі. Бастапқы жуықтауды келесі түрде аламыз

 

осыдан . (3)-ші формуланы қолдансақ

(4)

 

.

 

Келесі айырым x =0,2 болғанда e мәнінен үлкен болады

 

 

(4) өрнектегі соңғы екі қосындылардын косындысы e шамасынан кіші, сондықтан келесі түрде алуға болады

 

 

 

 

Келесі айырым [0; 0,2] кесіндісінде e мәнінен кіші

 

 

Жауабы:

 

МЫСАЛ 2.

Коши есебімен

анықталған, қадамы болғанда у функциясының төрт мәнін Эйлер әдісін қолдана отырып табу керек.

Шешуі. Бастапқы шарттан сондықтан аргумент мәндері

 

у функциясының мәндері

Жауабы:

х		0,1	0,2	0,3	0,4
У		1,1	1,22	1,36	1,52

 

МЫСАЛ 3.

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің шешімін Рунге-Кутт әдісімен табу керек

Шешуі.

Есептің шарты бойынша

Осыдан

болғанда

.

Осы сияқты мәндеріне сәйкес функция мәндерін табамыз.

 

13,14,15-Дәрістер. Математикалық физика есептерін шешудің сандық әдістері. Дербес туындылы теңдеудiң сандық шешiмi Пуассон теңдеуіне қойылған айырымдылық Дирихле есебінің жинақтылығы мен орнықтылығы.

13.1. Торлар әдісі