Квадратуралық формулалардың дәлдігін бағалау туралы

Трапеция және Симпсон формулалары бойынша интегралдау әдісінің қателігін бағалау, тек интеграл астындағы функция аналитикалық түрде берілгенде ғана мүмкін болады. Бұл жағдайдың өзінде де, қарастырылған интегралдау әдістерінің әрқайсысы үшін жарамды, тәжірибе жүзінде кеңінен қолданылатын келесі әдісті қарастырамыз.

Ізделініп отырған интеграл кесіндісін n және 2n бөлікке бөлу арқылы 2 рет есептеледі (интегралдағанда Симпсон формуласы бойынша n жұп сан болу керек). Содан соң интегралдан алынған мән (оларды I_n және I_2n деп белгілейміз) салыстырылады және сәйкес бірінші ондық белгі дұрыс деп саналады.

Симпсон әдісінің қателігін бағалау үшін жай формула қолданылады.

R_n, R_2n -Симпсон формуласы бойынша интегралдау қателіктері, сәйкесінше кесінді n және 2n бөлікке бөлінеді. (8.36) бағалауды есептей отырып, мына теңдікті құруға болады:

(8)

Мұндағы, h_n және h_2n - кесіндінің бөлінгендегі ұзындығы (нтегралдау қадамы) 1-ші және 2- ші жағдайда.

Бізге белгілі h_2n =h_n /2 (6.38) формуладан аламыз:

R_n=16R_2n (9)

Егер I-интегралдық шын мән болса, онда I=I_n+R_n және I=I_2n +R_2n бұдан I+16R_2n=I_2n+R_2n, яғни:

(10)

(6.40) формула Симпсон әдісінің қателігін тәжірибелі бағалауда қолайлы, бірақ екі рет есептеуді қажет етеді.

(6.33) және (6.36) бағалау формулаларынан трапеция және Симпсон әдістері бойынша интегралдау қателігі интегралдау қадамының азаюымен бірге азаюы байқалады. (әсіресе бұл (6.39) Симпсон формуласына тән). Осының негізінде шешім қабылдайық, бөлінген кесіндінің саны біртіндеп өскенде біз интегралдың мәнін аламыз, бұның бәрі шындыққа жуықтайды. Бірақ бұның шешімі теориялық мәнге тура келеді. Тәжірибе жүзінде есептесек бөлінген кесіндінің саны біртіндеп екі еселенгенде қателіктің салмағы жуықтап алынады. Бұның мәні әрбір моментке дейін интегралдық шешімнің жеткен нүктесіне шектеу қояды (нақтылай қарасақ көрсетілген қатенің интегралдық шешіміне әсері көрсетілген).

Бақылау сұрақтары:

1. Сандық дифференциалдау есебінің ерекшелігі неде?

2. Қадамды тізбектей азайту арқылы интегралдауда жіберілетін

қателікті шексіз азайту мүмкін бе?

Дәріс. Қарапайым дифференциалдық теңдеулердi шешу. Коши есебінің бір және көп қадамды әдістері. Орнықтылық. Жинақтылық. Берік жүйелерді интегралдау.

12.1. Қарапайым дифференциалдық теңдеулерді сандық шешу