Пряма в просторі

3.15. Канонічне та параметричне рівняння прямої в просторі

Аналогічна задача вже розв’язувалась для прямої на площині. Отже, необхідно скласти рівняння прямої , що проходить через дану точку паралельно напрямному вектору

Нехай, – довільна точка прямої, тоді вектори і колінеарні, а це значить, що координати їх пропорційні, тому отримуємо

– канонічні рівняння прямої. Прирівнюючи кожний з дробів (25) до параметра , запишемо параметричні рівняння прямої

Приклад. За точкою М(1,5,2) і напрямним вектором необхідно: 1) скласти канонічне рівняння прямої ; 2) побудувати цю пряму.

Розв’язання. 1) За формулою (25) запишемо канонічне рівняння прямої :

2) Розглянемо два способи побудови прямої .

Перший спосіб. В системі координат XYZ будуємо вектор і точку М(1,5,2) і проводимо через точку М пряму паралельну вектору

Другий спосіб. За формулою (26) записуємо рівняння прямої в параметричному вигляді:

При довільних значеннях t із системи знаходимо координати відповідних точок, які належать прямій . Так при t=1 знаходимо координати М₁(4,5,6). Через дві точки М і М₁ проводимо пряму (див. Мал.)