.
Приклад 2.21. Довести, що при 
н. м. 
і 
будуть еквівалентними.
Розв’язання. Знайдемо границю відношення цих функцій.
Отже, за означенням ці величини еквівалентні.
Запам’ятай добре! В тих випадках, коли потрібно розкрити невизначеність типу 
, її зводять шляхом елементарних перетворень до невизначеностей типу 
або 
, які розкривають, використовуючи таблицю еквівалентностей.
Приклад 2.22. 
.
Розв’язання. Перейдемо до іншої невизначеності. Для цього використаємо властивості логарифмічної функції:
.
Приклад 2.23. 
.
Розв’язання. Перетворимо невизначеність в невизначеність (це завжди можна зробити), після чого приведемо границю до виду, коли можливе застосування еквівалентних перетворень.
.
Приклад 2.24. 
.
Розв’язання. Маємо невизначеність виду . Оскільки при 
многочлен в чисельнику перетворюється в нуль ( - корінь чисельника), то за теоремою Безу він розкладається на множники, один з яких 
. За теоремою Вієта другий корінь 
. Тому 
. Маємо
.
Приклад 2.25. 
.
Розв’язування. Перейдемо до іншої невизначеності. Для цього використаємо властивості логарифмічної функції:
.
Оскільки 
при 
, то невизначеності в останній границі немає і
.
7. Розкриття невизначеностей типу при 
з ірраціональними виразами під знаком границі.
Для розкриття таких невизначеностей потрібно домножити і поділити вираз, що стоїть під знаком границі, на спряжений до виразу, який містить ірраціональність. Виконавши необхідні перетворення обчислюємо дану границю.
Приклад 2.26. 
.
Розв’язання. Маємо невизначеність виду . Для її розкриття потрібно звільнитися від ірраціональності у чисельнику. З цією метою помножимо чисельник і знаменник дробу на вираз 
.
.
Оскільки при 
многочлен 
в знаменнику перетворюється в нуль, то за теоремою Безу знаменник ділиться на різницю 
без остачі. Виконаємо ділення на 
в стовпчик:
, тоді 
.
Отже,
.
Приклад 2.27. 
Розв’язання. Маємо невизначеність виду . Для її розкриття потрібно звільнитися від ірраціональності у чисельнику та знаменнику. З цією метою помножимо чисельник і знаменник дробу на вираз 
. Маємо:
8. Розкриття невизначеності типу 
з використанням другої важливої границі
, (*)
тут 
довільна н. м. функція 
.
Приклад 2.28. 
.
Розв’язання. Спосіб І. Маємо невизначеність 
. Виконаємо тотожні перетворення, які приведуть границю до виду (*)
.
Вираз, що знаходиться в квадратних дужках, приведено до виду (*), де 
при 
, тому 
. Отже, матимемо:
.
Спосіб ІІ.
.
Приклад 2.29. 
.
Розв’язання. Спосіб І. Маємо невизначеність . Виконаємо тотожні перетворення, які приведуть границю до виду (*)
.
Вираз, що знаходиться в квадратних дужках, приведено до виду (*), де 
при 
, тому 
. Отже, матимемо:
.
Спосіб ІІ.
.
