Пусть пара сил (
, 
), имеющая плечо h, действует в плоскости П1 (рис.3.6). Возьмем плоскость П2, расположенную параллельно плоскости П1 на произвольном от неё расстоянии и из точек приложения сил заданной пары проведем перпендикуляры к плоскости П2, которые пересекают эту плоскость в точках С и D. Так как прямые ВС и АD одновременно перпендикулярны к плоскостям П1 и П2, то четырехугольник ABCD является прямоугольником. Следовательно CD = АВ = h.
Рис.3.6
Приложим в точках С и D плоскости П2 по две взаимно уравновешенные силы, линии действия которых перпендикулярны отрезку CD, т.е. силы 
и 
в точке С и силы 
и 
в точке D. Эти силы параллельны силам заданной пары, а их модули равны модулям сил заданной пары.
Рассмотрим силы и . Эти силы равны по модулю, параллельны и направлены в одну сторону. Заменим их действие силой 
, приложенной в точке пересечения диагоналей прямоугольника ABCD, направленной параллельно указанным силам в ту же сторону и равной их алгебраической сумме, т.е. = + .
Аналогично силы и приводятся к равнодействующей 
, приложенной в точке О, направленной параллельно этим силам в ту же сторону и равной их алгебраической сумме, т.е. = +
Полученные силы и взаимно уравновешиваются так как они равны по модулю, приложены в одной точке О и направлены вдоль общей прямой в противоположные стороны.
В результате на тело остаются действовать силы и , расположенные в плоско-сти П2 и образующие пару одинаковую с заданной парой сил (, ). Следовательно, любая пара сил может быть перенесена в параллельную ей плоскость.
Свойство 3. Две пары сил, моменты которых равны и направления вращения совпадают, статически эквивалентны.
Рис.3.7
Эквивалентные пары оказывают одинаковые воздействия на тела, к которым они приложены.
Рассмотрим две пары сил: (, ) и (, ), действующие в одной плоскости и имеющие одинаковые моменты и направления вращения (рис.3.7,а).
Пусть плечо первой пары сил равно h, а плечо второй – h1. Тогда их моменты будут равны:
т (, )= 
∙ h и т (, ) = 
∙ h1
Так как по условию, т (, )= т (, ), то
∙ h= ∙ h1 (3.7)
Пользуясь первым свойством пар, повернем пару сил (, ) против часовой стрелки в плоскости действия этой пары так, чтобы её составляющие расположились вертикально, т.е. силы 
и 
приложим в точках А и В соответственно (рис.3.7,б). На продолжении прямой АВ, отложим отрезок ВС численно равный плечу h1 пары сил (, ) и в точках В и С перпендикулярно к этой прямой приложим по две равные и противоположно направленные силы , и , , которые взаимно уравновешиваются.
Силы и , приложенные в точке В и направленные вдоль общей прямой в одну сторону, приводятся к равнодействующей 
, совпадающей по направлению с составляющими силами и численно равной: 
.
Силы и , приложены соответственно в точках А и С действуют в одну сторону вдоль параллельных прямых. Они приводятся к равнодействующей 
, направленной в ту же сторону, равной по модулю их алгебраической сумме 
, приложенной в точке, которая делит расстояние АС на отрезки, обратно пропорциональные этим силам. Обозначим точку приложения 
буквой B1 и запишем отношение отрезков, на которые сила делит расстояние АС:
(3.8)
Из равенства (3.7) следует:
, но = 
, h1 = ВС и h = АВ. Тогда равенство (3.8) принимает вид:
(3.9)
Сопоставляя выражения (3.8) и (3.9), легко установить, что точки В и B1 совпадают.
Таким образом, равнодействующие рассмотренных выше сил приложены в точке В, направлены вдоль общей прямой в противоположные стороны и равны по модулю. Такие силы взаимно уравновешиваются.
Оставшиеся силы и образуют пару, результат действия которой равен результату действия пары сил (, ), т.е. заданные пары статически эквивалентны.
Из рассмотренного свойства пар вытекают два важных для практики следствия:
а) Действие любой пары сил на тело можно заменить действием другой пары сил, статически ей эквивалентной.
б) При переносе пары сил в плоскости (или в другую плоскость ей параллельную) можно произвольно изменять модуль сил и её плечо при условии, что момент пары остается неизменным по величине и знаку.
3.4. Теорема о сложении пар.
