Теоремы о сложении двух параллельных сил.
Теорема I. Равнодействующая двух параллельных сил, направленных в одну сторону, равна их сумме, направлена в ту же сторону, параллельна им и приложена в точке, которая делит расстояние между заданными силами на части, обратно пропорциональные их модулям.
Для доказательства этой теоремы рассмотрим две параллельные силы 
и 
, приложенные соответственно в точках А и В твердого тела и направленные в одну сторону (рис.3.1). Соединим точки приложения заданных сил и вдоль этой прямой приложим в точках А и В соответственно силы 
и 
равные по модулю и противоположные по направлению. Приложение таких сил не нарушает характера действия заданных сил на твердое тело. Пользуясь правилом геометрического сложения сил, найдем равнодействующие 
и 
сил, приложенных в точках А и В.
Рис.3.1
= + и = + .
Из рисунка 3.1 видно, что линии действия сил и пересекаются в точке О.
Перенесем эти силы в точку О и разложим их на исходные составляющие , и , . Составляющие и равные по модулю и направленные вдоль горизонтальной прямой в противоположные стороны, взаимно уравновешиваются, а составляющие и действуют вдоль общей вертикальной прямой в одном направлении. Равнодействующая таких сил равна их алгебраической сумме и направлена вдоль линии их действия в ту же сторону, т.е:
(3.1)
Перенесем равнодействующую 
в точку С, расположенную на прямой АВ и рассмотрим подобие образовавшихся треугольников:
Треугольник АОС подобен треугольнику аОd, а треугольник ОВС подобен треугольнику Оbk. Составим отношения их сторон:
и 
Откуда 
и 
, но 
, а 
, следовательно, левые части последних двух равенств одинаковы. Приравнивая правые части этих равенств, получаем:
, где 
, а 
. Тогда:
, откуда 
(3.2)
Таким образом, точка приложения равнодействующей делит расстояние АВ между точками приложения заданных сил на отрезки АС и ВС обратно пропорциональные модулям этих сил.
Теорема 2. Равнодействующая двух параллельных, не равных по модулю и противоположно направленных сил, равна их разности, направлена параллельно этим силам в сторону большей из них и приложена на продолжении прямой, соединяющей точки приложения заданных сил в точке, расстояния которой от точек приложения заданных сил обратно пропорциональны их модулям.
Пусть в точках А и В некоторого твердого тела приложены две параллельные силы и , направленные в противоположные стороны. Положим, что 
(рис.3.2). 
Разложим силу на две параллельные ей составляющие и 
, направленные в одну сторону и приложенные в точках С и В соответственно. (Точка С взята на продолжении отрезка ВА, но её положение пока неизвестно). Модуль составляющей принимаем равным модулю заданной силы , тогда модуль силы , приложенной в точке С определится разностью 
, или
(3.3)
Силы и взаимно уравновешиваются, так как они равны по модулю, приложены в одной точке и направлены вдоль общей прямой в противоположные стороны. Следовательно, сила является равнодействующей двух заданных сил и . Модуль равнодействующей определяется по формуле (3.3), а точка её приложения находится на продолжении отрезка ВА со стороны большей силы.
Рис.3.2
Принимая во внимание, что сила является равнодействующей двух параллельных и направленных в одну сторону сил и , на основании пропорции (3.2) можем записать:
, или 
, но
, 
, 
, следовательно:
(3.4)
